7-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2020 год, вторая лига, 9-10 классы

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$. Точка $M$ --- середина отрезка $AB$. Точка $N$ на отрезке $CD$ такова, что $\angle ADN = \displaystyle\frac{1}{2} \angle MNC$ и $\angle BCN = \displaystyle\frac{1}{2} \angle MND$. Докажите, что $N$ --- середина отрезка $CD$.

Комментарий/решение

1)Обозначим $\angle MNC = 2\cdot x;\angle MND = 2\cdot y$. Тогда $\angle ADN = x; \angle BCN = y$

2)$\angle MNC + \angle MND = 2\cdot x + 2\cdot y = 180^\circ$ - как развернутый угол. Отсюда $x+y=90^\circ$

3)$\angle MND = \angle NMB = 2y$ - как накрест лежащие при параллельных

4)$\angle MNC = \angle NMA = 2x$ - как накрест лежащие при параллельных

5)Достроим $\Delta NMA$ до параллелограмма $NMAA_1$ и $\Delta NMB$ до параллелограмма $NMBB_1$

6) По построению, а также по факту, что у параллелограмма противоположные стороны равны, получаем $AA_1=MN=BB_1$

7)У параллелограмма противоположные стороны равны - $AM = A_1N;\;\;MB = NB_1$

8)$AM=MB$ - по условию, отсюда $AM=MB=A_1N=NB_1$

9)Так как $ABCD$ - трапеция, то $\angle A + \angle D = \angle B + \angle C = 180^\circ$

10)Счет углов: $$\angle A + \angle D = \angle A_1DA +\angle DAA_1 + \angle A_1AM = x +\angle DAA_1 + 2y = 180^\circ = 2x+2y$$

$$\angle DAA_1 = x = \angle A_1DA$$

11) $\Delta A_1DA$ - равнобедренный (следует из равенства углов $(10)$). это значит, что $AA_1 = DA_1$

12)Счет углов: $$\angle C + \angle B = \angle B_1CB +\angle CBB_1 + \angle B_1BM = y +\angle CBB_1 + 2x = 180^\circ = 2x+2y$$

$$\angle CBB_1= y = \angle B_1CB$$

13)$\Delta B_1CB$ - равнобедренный (следует из равенства углов $(12)$). это значит, что $BB_1 = CB_1$

14)Сравним $DN$ и $CN$

$$DN = DA_1 + A_1N = AA_1 + AM\;\;\;(punkts 6-11)$$

$$CN = NB_1 + B_1C = AA_1 + AM$$

Вывод - $DN = CN$

без координат?!

В этот раз без. Даже как-то огорчился) Помешал двойной угол, вычислительные сложности

7-я международная олимпиада по геометрии, 2020 год, вторая лига, 9-10 классы

Задача № 1. Дана трапеция АВСD с основаниями АВ и СD. Точка М середина отрезка АВ. Точка N на отрезке СD такова ,

что ∠ AND = 1/2 ∠MNC , ∠BCN= 1/2∠MND.докажите что N - середина отрезка СD

Балама шеш∥уі

1)Шеңбер (N; MN ) сызамыз

Шеңбер (N;MN) ∩ DC = K;E Шеңбер радиустарының теңдігінен MN = KN = EN

2)AB∥CD ,KM,EM қиюшы түзулер. Алынған МNК мен МЕN үшбұрыштарының бұрыштарын анықтайық. ∠ КМN = α

aл ∠ЕМN = β болсын, онда КМN мен ЕМN үшбұрыштары теңбүйірлі болғандықтан ∠МКN = α , МЕN=β болады.

Әрі қарай ∠МNД= 180° - 2α және ∠МNC =2α. КМ, ЕМ қиюшылар, сондықтан ∠АМК =α, ∠EMB=β. Олай болса, 2α + 2β = 180°, осыдан

α + β = 90°. Есептің шарты бойынша ∠ AND = 1/2 ∠MNC ,

∠BCN= 1/2∠MND яғни ∠ADN= 1/2 ∙2α=α

∠BCN= 1/2∙(180°-2α)=β. Демек , АD∥МК, ВС∥МЕ

3)Сонымен , АМКD және МВСЕ төртбұрыштары параллелограмдар болады. DK = AM= BM =CE

DN=DK+NK=CE+NE. CN=CE+NE, ендеше, DN=CN

$\angle{ADN} = \alpha \Rightarrow \angle{MNC}=2\alpha, \angle{MND}=180-2\alpha \Rightarrow \angle{BCN}=90-\alpha$

AD и BC пересекаются в точке K, и F середина CD, соединяем KF (известно что M лежит на KF) тогда $KF = \frac{CD}{2} \Rightarrow CF=KF, \angle{CKF}=\angle{KCF}=90-x \Rightarrow \angle{MFN} = 180-2x$ Так как угол $\angle{MNC}=2\alpha$ и $\angle{MFN}=180-2\alpha$ такого треугольника не существеует, соответственно $N \in KF \Rightarrow N$ середина CD

легкое решение, спасибо

$AD \cap BC=T$ очевидно $\angle DCT=90$

$\angle MND=\angle DCB=2*\angle DCB= 2*\angle ABT=\angle AMT$=>> $T-M-N$ и по фалесу $N$ середина.