Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

7-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2020 год, вторая лига, 9-10 классы


O нүктесі — теңбүйірлі ABC (AB=AC) үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі. N нүктесі — BC қабырғасының ортасы, ал M нүктесі N нүктесіне AC түзуіне қарағандағы симметриялы нүкте. T нүктесі ANBT — тіктөртбұрыш болатындай нүкте. OMT=12BAC екенін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 4   7
2 года 4 месяца назад #

Пусть ACMN=F , TMAC=K

Утверждение 1: OM=OT

Док-во: OA=OC,TA=BN=NC Т.к CF серпер NC=CMCM=TA . OCA=OAC=FNC=90FCMOCM=90TAOMCOOM=OT

Утверждение 2:TK=KM

Док-во:Пусть точка S на продолжении CA что TA=TS, TSC=MCSTSMC ещё мы знаем что TS=CMTSMC Параллелограмм SK=KC,TK=KM.

В OMT,OK медиана т.к OM=OTOK высота OKM=90,OCM=90O,K,M,C лежит на одной окружности OMT=OCK с другой стороны OCK=OAC=12BAC12BAC=OMT ч.т.д

пред. Правка 2   0
5 месяца 24 дней назад #

TBO=OAM,OA=OB,TB=AM=>>OT=OM=>>TBO=AOM

Отсюда O центр поворотной гомотетии переводящий TB =>> AM=>> O центр поворотной гомотетии переводящий BA =>>TM дальше из подобности требуемые углы будут равны.

  1
5 месяца 18 дней назад #

Сначала докажем то что OT=OM

Пусть ACMN=H

Очевидно , что AT=BN=CN=MC , и AO=BO=CO

Пусть BAC=2α, тогда BAN=CAN=OCA=ABT=OBA

MH=NHCHM=CHN=90MNC=CMN=OCA A,M,C,N – лежат на одной окружности MNC=MAC=αMCA=90αOCM=90

С этого вытекает что OAT=OCM, тогда OC2+CM2=AO2+AT2=OM=OT

Теперь докажем что OMT=α

С прошлых равенств вытекает что AOCMOT

Тогда AOC=MOTOAC=OMT=12BAC=α что и требовалось доказать.