7-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2020 год, вторая лига, 9-10 классы

Дан равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB=AC$), $O$ --- центр его описанной окружности. Точка $N$ --- середина отрезка $BC$, точка $M$ симметрична $N$ относительно стороны $AC$. Точка $T$ такова, что четырёхугольник $ANBT$ является прямоугольником. Докажите, что $\angle OMT = \displaystyle\frac{1}{2} \angle BAC$.

Комментарий/решение

Пусть $AC \cap MN=F$ , $TM \cap AC=K$

Утверждение 1: $OM=OT$

Док-во: $OA=OC, TA=BN=NC$ Т.к $CF$ серпер $NC=CM \Rightarrow CM=TA$ . $\angle OCA=\angle OAC=\angle FNC= 90- \angle FCM \Rightarrow \angle OCM=90 \Rightarrow \triangle TAO \sim \triangle MCO \Rightarrow OM=OT$

Утверждение 2:$TK=KM$

Док-во:Пусть точка $S$ на продолжении $CA$ что $TA=TS$, $\angle TSC=\angle MCS \Rightarrow TS \parallel MC$ ещё мы знаем что $TS=CM \Rightarrow TSMC$ Параллелограмм $\Rightarrow SK=KC, TK=KM.$

В $\triangle OMT , OK$ медиана т.к $OM=OT \Rightarrow OK$ высота $\Rightarrow \angle OKM=90, \angle OCM=90 \Rightarrow O,K,M,C$ лежит на одной окружности $\Rightarrow \angle OMT= \angle OCK$ с другой стороны $\angle OCK= \angle OAC=\dfrac{1}{2} \angle BAC \Rightarrow \dfrac{1}{2} \angle BAC=\angle OMT$ ч.т.д

$\angle TBO=\angle OAM , OA=OB, TB=AM =>>OT=OM=>>TBO=AOM$

Отсюда $O$ центр поворотной гомотетии переводящий $TB$ =>> $AM$=>> $O$ центр поворотной гомотетии переводящий $BA$ =>>$TM$ дальше из подобности требуемые углы будут равны.

Сначала докажем то что $OT=OM$

Пусть $AC\cap MN = H$

Очевидно , что $AT=BN=CN=MC$ , и $AO=BO=CO$

Пусть $\angle BAC=2\alpha$, тогда $\angle BAN=\angle CAN=\angle OCA =\angle ABT=\angle OBA$

$MH=NH \Rightarrow \angle CHM=CHN=90^\circ \Rightarrow \angle MNC=\angle CMN=\angle OCA$ $A,M,C,N$ – лежат на одной окружности $\Rightarrow$$\angle MNC=\angle MAC=\alpha \Rightarrow \angle MCA=90-\alpha \Rightarrow \angle OCM=90^\circ$

С этого вытекает что $\triangle OAT=\triangle OCM$, тогда $\sqrt{OC^2+CM^2}=\sqrt{AO^2+AT^2}=OM=OT$

Теперь докажем что $\angle OMT=\alpha$

С прошлых равенств вытекает что $\triangle AOC\sim \triangle MOT$

Тогда $\angle AOC=\angle MOT \Rightarrow \angle OAC=\angle OMT=\dfrac{1}{2}\angle BAC=\alpha$ что и требовалось доказать.