7-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2020 год, вторая лига, 9-10 классы
Комментарий/решение:
Пусть AC∩MN=F , TM∩AC=K
Утверждение 1: OM=OT
Док-во: OA=OC,TA=BN=NC Т.к CF серпер NC=CM⇒CM=TA . ∠OCA=∠OAC=∠FNC=90−∠FCM⇒∠OCM=90⇒△TAO∼△MCO⇒OM=OT
Утверждение 2:TK=KM
Док-во:Пусть точка S на продолжении CA что TA=TS, ∠TSC=∠MCS⇒TS∥MC ещё мы знаем что TS=CM⇒TSMC Параллелограмм ⇒SK=KC,TK=KM.
В △OMT,OK медиана т.к OM=OT⇒OK высота ⇒∠OKM=90,∠OCM=90⇒O,K,M,C лежит на одной окружности ⇒∠OMT=∠OCK с другой стороны ∠OCK=∠OAC=12∠BAC⇒12∠BAC=∠OMT ч.т.д
Сначала докажем то что OT=OM
Пусть AC∩MN=H
Очевидно , что AT=BN=CN=MC , и AO=BO=CO
Пусть ∠BAC=2α, тогда ∠BAN=∠CAN=∠OCA=∠ABT=∠OBA
MH=NH⇒∠CHM=CHN=90∘⇒∠MNC=∠CMN=∠OCA A,M,C,N – лежат на одной окружности ⇒∠MNC=∠MAC=α⇒∠MCA=90−α⇒∠OCM=90∘
С этого вытекает что △OAT=△OCM, тогда √OC2+CM2=√AO2+AT2=OM=OT
Теперь докажем что ∠OMT=α
С прошлых равенств вытекает что △AOC∼△MOT
Тогда ∠AOC=∠MOT⇒∠OAC=∠OMT=12∠BAC=α что и требовалось доказать.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.