7-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2020 год, вторая лига, 9-10 классы

$ABC$ үшбұрышы берілген. Центрі $J$ болатын қандай да бір шеңбер $B$ және $C$ нүктелері арқылы өтіп, $AC$ және $AB$ қабырғаларын сәйкесінше $E$ және $F$ нүктелерінде қияды. $X$ және $C$ нүктелері $AB$ түзуіне қарағанда бір жақта жатыр және $FXB$ үшбұрышы $EJC$ үшбұрышына ұқсас (сәйкес төбелер берілген ретке сәйкес келеді). Дәл сол сияқты $Y$ және $B$ нүктелері $AC$ түзуіне қарағанда бір жақта жатыр және $EYC$ үшбұрышы $FJB$ үшбұрышына ұқсас (сәйкес төбелер берілген ретке сәйкес келеді). $XY$ түзуінің $\triangle ABC$-ның биіктіктер қиылысу нүктесі арқылы өтетінін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Пусть $H$ ортоцентр треугольника $\triangle ABC$. Отрезки $BE$ и $CF$ пересекаются в точке $P$.

Заметим что $\angle PBH = 90 - \angle BEC = \angle JBC$. И аналогично, $\angle PCH = \angle JCB$. Значит, точки $J$ и $H$ изогонально сопряжены относительно треугольника $\triangle PBC$. Значит $\angle BPH = \angle JPC$. Тогда выберем на прямой $PH$ точку $X’$ что треугольники $\triangle PBX’$ и $\triangle PCJ$ были подобными. Тогда легко заметить что треугольник $\triangle X’FB$ подобен треугольнику $\triangle JEC$. Отсюда $X=X’$ и точки $P, H, X$ на одной прямой. Аналогично, $P, H, Y$ на одной прямой. Ч.т.д.