Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2020-2021 учебный год. 8 класс.

Задача №1. Вычислите сумму:

$\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{3}{2 \cdot 5}+\frac{5}{5 \cdot 10}+\frac{7}{10 \cdot 17}+\cdots+\frac{101}{2501 \cdot 2602}.$
комментарий/решение(1)

Задача №2. В треугольнике

$ABC$ проведена биссектриса

$CD$ . Известно, что

$\angle A = 2\angle B$ ,

$\angle C= 2(\angle A + \angle B)$ . Докажите, что

$AB=BC+CD$ .
комментарий/решение(6)

Задача №3. Пусть

$x^2 + y^2 = 1$ (

$x, y \in \mathbb{R}$ ,

$x > 0$ ,

$y > 0$ ). Найдите наименьшее значения выражения

$A=\frac{x + y + 1}{xy}$ .
комментарий/решение(3)

Задача №4. На шахматной доске

$8 \times 8$ расставлены 8 ладей, не бьющих друг друга. Докажите, что найдутся такие две пары ладей, что расстояния между ладьями в каждой паре одинаковы. (Расстоянием между двумя ладьями называется расстояние между центрами клеток, в которых они находятся. Напоминаем, что ладья бьёт по вертикали или горизонтали).
комментарий/решение(1)