Processing math: 100%

Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2020-2021 учебный год. 8 класс.


Пусть x2+y2=1 (x,yR, x>0, y>0). Найдите наименьшее значения выражения A=x+y+1xy.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   3
1 года 9 месяца назад #

Заметим, что A + 2 = A (x+y), то есть (x+y)(x+y+1)xy = x+y+1xy + 2. Вычтем из обоих сторон x+y+1xy, и поделим на x+y1, и у нас выйдет A = 2x+y1, то есть минимальное значение A достигается при максимальном x+y.

2(x2+y2) = 2, заметим что по AM GM левая сторона больше или равна (x+y)2, значит 2 (x+y)2, значит x+y 2, откуда минимальное значение A = 221

пред. Правка 3   1
1 года 9 месяца назад #

A=(x+y)+(x2+y2)xy2xy+2xyxy=2xy+22x2+y22+2=22+2

Теңдік жағдайы: x=y=12

  32
1 года 1 месяца назад #

А>=(2Vxy+1)/xy (AM;GM). Сократи xy а затем 1 выйдет то что x+y=2Vxy ведь x+y должно быть минимальное. И тогда x=y=1/V2

P.S здесь Vx=под корнем х