Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2020-2021 учебный год. 8 класс.
Пусть x2+y2=1 (x,y∈R, x>0, y>0). Найдите наименьшее значения выражения A=x+y+1xy.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Заметим, что A + 2 = A ∗ (x+y), то есть (x+y)(x+y+1)xy = x+y+1xy + 2. Вычтем из обоих сторон x+y+1xy, и поделим на x+y−1, и у нас выйдет A = 2x+y−1, то есть минимальное значение A достигается при максимальном x+y.
2(x2+y2) = 2, заметим что по AM ≥ GM левая сторона больше или равна (x+y)2, значит 2 ≥ (x+y)2, значит x+y ≤ √2, откуда минимальное значение A = 2√2−1
А>=(2Vxy+1)/xy (AM;GM). Сократи xy а затем 1 выйдет то что x+y=2Vxy ведь x+y должно быть минимальное. И тогда x=y=1/V2
P.S здесь Vx=под корнем х
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.