Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2020-2021 учебный год. 8 класс.

Егер $x^2 + y^2 = 1$ ($x, y \in \mathbb{R}$, $x > 0$, $y > 0$) болса, $A=\frac{x + y + 1}{xy}$ өрнектінің ең кіші мәнін табыңыз.

Комментарий/решение

Заметим, что $A$ $+$ $2$ $=$ $A$ $*$ $(x+y)$, то есть $\dfrac{(x+y)(x+y+1)}{xy}$ $=$ $\dfrac{x+y+1}{xy}$ $+$ $2$. Вычтем из обоих сторон $\dfrac{x+y+1}{xy}$, и поделим на $x+y-1$, и у нас выйдет $A$ $=$ $\dfrac{2}{x+y-1}$, то есть минимальное значение $A$ достигается при максимальном $x+y$.

$2(x^2+y^2)$ $=$ $2$, заметим что по $AM$ $\geq$ $GM$ левая сторона больше или равна $(x+y)^2$, значит $2$ $\geq$ $(x+y)^2$, значит $x+y$ $\leq$ $\sqrt{2}$, откуда минимальное значение $A$ $=$ $\dfrac{2}{\sqrt{2}-1}$

$A=\frac{(x + y) + (x^2+y^2)}{xy}\ge \frac{2\sqrt{xy}+2xy}{xy}=\frac{2}{\sqrt{xy}}+2\ge \frac{2}{\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}}+2=2\sqrt{2}+2$

Теңдік жағдайы: $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$

А>=(2Vxy+1)/xy (AM;GM). Сократи xy а затем 1 выйдет то что x+y=2Vxy ведь x+y должно быть минимальное. И тогда x=y=1/V2

P.S здесь Vx=под корнем х