Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2020-2021 учебный год. 8 класс.

На шахматной доске $8 \times 8$ расставлены 8 ладей, не бьющих друг друга. Докажите, что найдутся такие две пары ладей, что расстояния между ладьями в каждой паре одинаковы. (Расстоянием между двумя ладьями называется расстояние между центрами клеток, в которых они находятся. Напоминаем, что ладья бьёт по вертикали или горизонтали).

Комментарий/решение

Ну заметим что из двух клеток можно создать прямоугольник $m*n$ так что клетки находятся при вершинах диагонали тогда замети расстояние между центрами по теореме пифагора равна $(m-1)^2+(n-1)^2$ тогда так как они не на одной вертикали или горизонтали $m;n$ в интервале от 2 до 8 включительно тогда , $(m-1);(n-1)$ в интервале от 1 до 7 включительно кол-во вариантов где не квадрат 7*6/2=21 где квадрат 7 значит 21+7=28 тогда кол-во пар равно 8*7/2=28 но заметим что пары где 7;1 и 5;5 имеют одинаковую сумму (8;2 и 6;6) тогда кол-во вариантов суммы 27 тогда по принципу дирихле такие две пары найдутся