Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2020-2021 учебный год. 8 класс.

$8 \times 8$ шахмат тақтасында бірін-бірі жей алмайтындай 8 ладья орналасқан. Ладьялардың ара қашықтықтары тең болатын ладьялардің екі жұбы табылатынын дәлелдеңіздер. (Ладьялардың ара қашықтығы деп ладьялар орналасқан шаршылардың центрлерінің ара қашықтығын айтамыз. Ладья тігінен немесе колденеңнен жей алатынын ескертемиз.)

Комментарий/решение

Ну заметим что из двух клеток можно создать прямоугольник $m*n$ так что клетки находятся при вершинах диагонали тогда замети расстояние между центрами по теореме пифагора равна $(m-1)^2+(n-1)^2$ тогда так как они не на одной вертикали или горизонтали $m;n$ в интервале от 2 до 8 включительно тогда , $(m-1);(n-1)$ в интервале от 1 до 7 включительно кол-во вариантов где не квадрат 7*6/2=21 где квадрат 7 значит 21+7=28 тогда кол-во пар равно 8*7/2=28 но заметим что пары где 7;1 и 5;5 имеют одинаковую сумму (8;2 и 6;6) тогда кол-во вариантов суммы 27 тогда по принципу дирихле такие две пары найдутся