Международная олимпиада 2022, Осло, Норвегия, 2022 год

Есеп №1. Осло банкі монеталардың екі түрін шығарады: алюминий монеталар (оларды $A$ әрпімен белгілейік) және қола монеталар (оларды $B$ әрпімен белгілейік). Мария қандай да бір ретпен қатарға $n$ алюминий және $n$ қола монетаны орналастырды. Бір түрге жататын қатарынан орналасқан монеталардың кез келген тізбегін тізбек деп атайық. Берілген $k \leq 2n$ оң бүтін саны үшін Мария келесі әрекетті қайталап орындайды: ол сол жақтан санағанда $k$-ыншы монетаны қамтитын ең ұзын тізбекті таңдап, осы тізбектің барлық монеталарын қатардың сол жақ шетіне жылжытады. Мысалы, егер $n=4$ және $k=4$ болса, бастапқы $AABBBABA$ қатары үшін процесс келесідей болады: $AABBBABA \to BBBAAABA \to AAABBBBA \to BBBBAAAA \to \ldots$ $1 \leq k \leq 2n$ болатын барлық $(n,k)$ жұптарын табыңыз. Бұл жұптар үшін кез келген бастапқы қатар үшін белгілі бір уақыт мезетінде қатардың сол жақтағы $n$ монетасы бір түрге жататын болсын.
комментарий/решение(3)

Есеп №2. $\mathbb{R}^{+}$ арқылы барлық оң нақты сандар жиынын белгілейік. Әрбір $x \in \mathbb{R}^{+}$ үшін $xf(y)+yf(x) \leq 2$ теңсіздігін қанағаттандыратын дәл бір $y \in \mathbb{R}^{+}$ саны болатындай барлық $f:\mathbb{R}^{+}\to\mathbb{R}^{+}$ функцияларын табыңыз.
комментарий/решение(5)

Есеп №3. $k$ — оң бүтін сан, ал $S$ — тақ жай сандардан тұратын ақырлы жиын болсын. $S$ жиынының барлық элементтерін шеңбер бойымен орналастырудың бұрулар мен шағылыстыруларды бірдей деп есептегендегі бірден артық емес тәсілі бар екенін дәлелдеңіз, мұнда кез келген екі көршілес санның көбейтіндісі $x^2+x+k$ түрінде болады, мұндағы $x$ — оң бүтін сан.
комментарий/решение(3)

Есеп №4. $ABCDE$ — $BC=DE$ болатын дөңес бесбұрыш болсын. Бесбұрыштың ішінде $TB=TD$, $TC=TE$ және $\angle ABT=\angle TEA$ болатындай $T$ нүктесі табылды. $AB$ түзуі $CD$ және $CT$ түзулерін сәйкесінше $P$ және $Q$ нүктелерінде қиып өтсін. $P,B,A,Q$ нүктелері бір түзудің бойында дәл осы ретпен орналасқан деп есептейік. $AE$ түзуі $CD$ және $DT$ түзулерін сәйкесінше $R$ және $S$ нүктелерінде қиып өтсін. $R,E,A,S$ нүктелері бір түзудің бойында дәл осы ретпен орналасқан деп есептейік. $P,S,Q,R$ нүктелерінің бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(4)

Есеп №5. $a^p=b!+p$ болатындай барлық $(a,b,p)$ үштіктерін табыңыз, мұнда $p$ саны жай сан, ал $a,b,p$ — оң бүтін сандар.
комментарий/решение(5)

Есеп №6. $n$ -- оң бүтін сан болсын. Нордиялық квадрат деп өлшемі $n\times n$ болатын, ұяшықтары $1$-ден $n^2$-ге дейінгі сандармен толтырылған кестені атайық. Бұл ретте әрбір сан дәл бір рет қолданылып, әрбір ұяшықта дәл бір сан жазылған болуы керек. Егер екі ұяшықтың ортақ қабырғасы болса, оларды көршілес деп атайық. Аңғар деп өзімен көршілес барлық ұяшықтарда өзіндегі саннан үлкен сандар жазылған кез келген ұяшықты атайық. Көтерілу деп кемінде бір ұяшықтан тұратын және келесі шарттарды қанағаттандыратын тізбекті атайық:
1. тізбектегі бірінші ұяшық — аңғар;
2. тізбектегі әрбір келесі ұяшық алдыңғы ұяшықпен көршілес;
3. тізбектегі ұяшықтарда жазылған сандар өсу ретімен орналасқан.
Әрбір берілген $n$ үшін нордиялық квадраттағы барлық көтерілулер санының ең аз мүмкін мәнін табыңыз.
комментарий/решение(1)

результаты