Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Международная олимпиада 2022, Осло, Норвегия, 2022 год


Найдите все тройки (a,b,p) целых положительных чисел, такие что число p простое и ap=b!+p.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 4   5
1 года 11 месяца назад #

appa,0(modp)=b!a,0(modp) по МТФ

пусть appa(modp)=b!a(modp) тогда b<p

если a>b то app>b! поэтому b>a тогда b!0(moda)=ap0(moda)pp(moda) но p>a значит p≠≡0(moda)

пусть ap0(modp)b!0(modp)

разбирая p=2,p=3 выходят такие ответы (a,b,p)=(2,2,2),(3,4,3)

пусть p>3 тогда b>p>3

Докажем что a=p тогда a=px где x3 p(pp1xp1)=b! но тогда (pp1xp1)0(mod2,3,4,5....p1,p+1....,p+k) но если т.к. x3 то (pp1xp1)0(mod2,3,4,5....p1,p+1....,p+k) не делится на x а должно т.к. b>x потому что если a>b то px>2p>b>p где x3 но тогда ppxpp>b!т.к.2xp3>b,(2xp)p(3)p>bp,xpppp>(2xp)p(3)p>bp так что b>a a=p теперь надо доказать что при p>3 решений нету

помогите добить задачу я только до этого смог дойти

(3 дня решал только до этого дошел)

добивка p>5ppp0(mod2p1) или меньше больше не может но заметим что при b>5 у него b!=2kx,k2pb4

пред. Правка 2   0
1 года 11 месяца назад #

пред. Правка 2   5
9 месяца 14 дней назад #