Processing math: 7%

Международная олимпиада 2022, Осло, Норвегия, 2022 год


Найдите все тройки (a,b,p) целых положительных чисел, такие что число p простое и ap=b!+p.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 4   5
1 года 11 месяца назад #

a^p-p \equiv a,0 \pmod {p} = b! \equiv a,0 \pmod {p} по МТФ

пусть a^p-p \equiv a \pmod {p} = b! \equiv a \pmod {p} тогда b<p

если a>b то a^p-p>b! поэтому b>a тогда b!\equiv 0 \pmod {a}=a^p\equiv 0 \pmod {a} -p\equiv p\pmod {a} но p>a значит p \ne\equiv 0 \pmod {a}

пусть a^p\equiv 0 \pmod {p} \Rightarrow b!\equiv 0 \pmod {p}

разбирая p=2,p=3 выходят такие ответы (a,b,p)=(2,2,2),(3,4,3)

пусть p>3 тогда b>p>3

Докажем что a=p тогда a=px где x\geq 3 p(p^{p-1}x^p-1)=b! но тогда (p^{p-1}x^p-1)\equiv 0 \pmod {2,3,4,5....p-1,p+1....,p+k} но если т.к. x\geq 3 то (p^{p-1}x^p-1)\equiv 0 \pmod {2,3,4,5....p-1,p+1....,p+k} не делится на x а должно т.к. b>x потому что если a>b то px>2p>b>p где x\geq 3 но тогда p^px^p-p>b!т.к.\Rightarrow \dfrac {2xp}{3}>b,\dfrac {(2xp)^p}{(3)^p}>b^p,x^pp^p-p>\dfrac {(2xp)^p}{(3)^p}>b^p так что b>a \Rightarrow a=p теперь надо доказать что при p>3 решений нету

помогите добить задачу я только до этого смог дойти

(3 дня решал только до этого дошел)

добивка p>5p^p-p\equiv 0 \pmod{2^{p-1}} или меньше больше не может но заметим что при b>5 у него b!=2^kx,k\geq 2^p\Rightarrow b\leq4

пред. Правка 2   0
1 года 11 месяца назад #

пред. Правка 2   5
9 месяца 14 дней назад #