Международная олимпиада 2022, Осло, Норвегия, 2022 год

Найдите все тройки $(a,b,p)$ целых положительных чисел, такие что число $p$ простое и $a^p=b!+p.$

Комментарий/решение

$a^p-p \equiv a,0 \pmod {p} = b! \equiv a,0 \pmod {p}$ по МТФ

пусть $a^p-p \equiv a \pmod {p} = b! \equiv a \pmod {p}$ тогда $b<p$

если $a>b$ то $a^p-p>b!$ поэтому $b>a$ тогда $b!\equiv 0 \pmod {a}=a^p\equiv 0 \pmod {a} -p\equiv p\pmod {a}$ но $p>a$ значит $p \ne\equiv 0 \pmod {a}$

пусть $a^p\equiv 0 \pmod {p} \Rightarrow b!\equiv 0 \pmod {p}$

разбирая $p=2,p=3 $ выходят такие ответы $(a,b,p)=(2,2,2),(3,4,3)$

пусть $p>3$ тогда $b>p>3$

Докажем что $a=p$ тогда $a=px$ где $x\geq 3$ $p(p^{p-1}x^p-1)=b!$ но тогда $(p^{p-1}x^p-1)\equiv 0 \pmod {2,3,4,5....p-1,p+1....,p+k}$ но если т.к. $x\geq 3$ то $(p^{p-1}x^p-1)\equiv 0 \pmod {2,3,4,5....p-1,p+1....,p+k}$ не делится на $x$ а должно т.к. $b>x$ потому что если $a>b $ то $px>2p>b>p$ где $x\geq 3$ но тогда $p^px^p-p>b!$т.к.$\Rightarrow \dfrac {2xp}{3}>b$,$\dfrac {(2xp)^p}{(3)^p}>b^p$,$x^pp^p-p>\dfrac {(2xp)^p}{(3)^p}>b^p$ так что $b>a$ $\Rightarrow a=p$ теперь надо доказать что при $p>3$ решений нету

помогите добить задачу я только до этого смог дойти

(3 дня решал только до этого дошел)

добивка $p>5$$p^p-p\equiv 0 \pmod{2^{p-1}}$ или меньше больше не может но заметим что при $b>5$ у него $b!=2^kx$,$k\geq 2^p$$\Rightarrow b\leq4$