Международная олимпиада 2022, Осло, Норвегия, 2022 год
Комментарий/решение:
ap−p≡a,0(modp)=b!≡a,0(modp) по МТФ
пусть ap−p≡a(modp)=b!≡a(modp) тогда b<p
если a>b то ap−p>b! поэтому b>a тогда b!≡0(moda)=ap≡0(moda)−p≡p(moda) но p>a значит p≠≡0(moda)
пусть ap≡0(modp)⇒b!≡0(modp)
разбирая p=2,p=3 выходят такие ответы (a,b,p)=(2,2,2),(3,4,3)
пусть p>3 тогда b>p>3
Докажем что a=p тогда a=px где x≥3 p(pp−1xp−1)=b! но тогда (pp−1xp−1)≡0(mod2,3,4,5....p−1,p+1....,p+k) но если т.к. x≥3 то (pp−1xp−1)≡0(mod2,3,4,5....p−1,p+1....,p+k) не делится на x а должно т.к. b>x потому что если a>b то px>2p>b>p где x≥3 но тогда ppxp−p>b!т.к.⇒2xp3>b,(2xp)p(3)p>bp,xppp−p>(2xp)p(3)p>bp так что b>a ⇒a=p теперь надо доказать что при p>3 решений нету
помогите добить задачу я только до этого смог дойти
(3 дня решал только до этого дошел)
добивка p>5pp−p≡0(mod2p−1) или меньше больше не может но заметим что при b>5 у него b!=2kx,k≥2p⇒b≤4
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.