Международная олимпиада 2022, Осло, Норвегия, 2022 год

Задача №1. Банк Осло выпускает монеты двух видов: алюминиевые (обозначим их буквой

$A$ ) и бронзовые (обозначим их буквой

$B$ ). Мария выложила в ряд в некотором порядке

$n$ алюминиевых и

$n$ бронзовых монет. Цепью назовём любую последовательность подряд идущих монет одного вида. Для заданного целого положительного числа

$k \leq 2n$ Мария последовательно повторяет следующую операцию: она выбирает цепь наибольшей длины, содержащую

$k$ -ую слева монету, и перемещает все монеты этой цепочки в левый край ряда. Например, если

$n=4$ и

$k=4$ , то для начального ряда

$AABBBABA$ процесс будет иметь вид

$AABBBABA \to$

$BBBAAABA \to$

$AAABBBBA \to$

$BBBBAAAA \to ...$ Найдите все пары

$(n,k)$ , где

$1 \leq k \leq 2n$ , такие, что для любого начального ряда найдется момент времени такой, что

$n$ левых монет ряда будут одного вида.
комментарий/решение(3)

Задача №2. Через

$\mathbb{R}^{+}$ обозначим множество всех целых положительных вещественных чисел. Найдите все функции

$f: \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}$ такие, что для каждого

$x \in \mathbb{R}^{+}$ существует ровно одно число

$y \in \mathbb{R}^{+}$ , удовлетворяющее неравенству

$xf(y)+yf(x) \leq 2.$
комментарий/решение(2)

Задача №3. Пусть

$k$ — целое положительное число, а

$S$ — конечное множество, состоящее из нечетных простых чисел. Докажите, что существует не более одного способа (с точностью до поворотов и отражений) расположить все элементы множества

$S$ по кругу так, чтобы произведение любых двух соседних чисел имело вид

$x^2+x+k$ , где

$x$ — целое положительное число.
комментарий/решение(3)

Задача №4. Пусть

$ABCDE$ — выпуклый пятиугольник, в котором

$BC=DE$ . Внутри пятиугольника нашлась точка

$T$ такая, что

$TB=TD,TC=TE$ и

$\angle ABT = \angle TEA$ . Пусть прямая

$AB$ пересекает прямые

$CD$ и

$CT$ в точках

$P$ и

$Q$ соответственно. Предположим, что точки

$P,B,A,Q$ расположены на прямой в указанном порядке. Прямая

$AE$ пересекает прямые

$CD$ и

$DT$ в точках

$R$ и

$S$ соответственно. Предположим, что точки

$R,E,A,S$ расположены на прямой в указанном порядке . Докажите, что точки

$P,S,Q,R$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение(4)

Задача №5. Найдите все тройки

$(a,b,p)$ целых положительных чисел, такие что число

$p$ простое и

$a^p=b!+p.$
комментарий/решение(3)

Задача №6. Пусть

$n$ — целое положительное число. Нордическим квадратом будем называть любую таблицу

$n \times n$ , клетки которой заполнены числами от 1 до

$n^2$ так, что каждое число использовано по одному разу и в каждой клетке записано ровно одно число. Две клетки назовем соседними, если у них есть общая сторона. Долиной назовем любую клетку, такую что во всех соседних с ней клетках записаны числа, большие чем в ней. Подъемом назовем последовательность, состоящую из не менее чем одной клетки, такую что
   1. первая клетка в последовательности — долина;
   2. каждая следующая клетка последовательности является соседней с предыдущей;
   3. числа, записанные в клетках последовательности, расположены в порядке возрастания.
   Для каждого заданного

$n$ найдите наименьшее возможное количество всем подъемов в нордическом квадрате.
комментарий/решение(1)

результаты