Международная олимпиада 2022, Осло, Норвегия, 2022 год
Пусть ABCDE — выпуклый пятиугольник, в котором BC=DE. Внутри пятиугольника нашлась точка T такая, что TB=TD,TC=TE и ∠ABT=∠TEA. Пусть прямая AB пересекает прямые CD и CT в точках P и Q соответственно. Предположим, что точки P,B,A,Q расположены на прямой в указанном порядке. Прямая AE пересекает прямые CD и DT в точках R и S соответственно. Предположим, что точки R,E,A,S расположены на прямой в указанном порядке . Докажите, что точки P,S,Q,R лежат на одной окружности.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
СЛАВА ВСЕВЫШНЕМУ на САЙТЕ MATOL.KZ ВЕРНУЛИ ВОЗМОЖНОСТЬ ДОБАВЛЯТЬ КАРТИНКИ В ЧЕСТЬ ЭТОГО а ТАКЖЕ СЕРЕБРЯННОЙ МЕДАЛИ НА iMO У МИРОНА ЮРКЕВИЧА РЕШЕНИЕ БУДЕТ ПОЛНОСТЬЮ НА АРАБСКОМ ЯЗЫКЕ.
△BIC≅△DIE ⇒ ∡BTC=∡DTE ⇔ ∡BTQ=∡STE (∡QBT=∡TES) ⇒ △STE∼△QTB ⇒ QTBT=STET⇔QT∗ET=ST∗BT⇔QT∗CT=ST∗TD⇒QSCD− منقوشة ⇒∡QSR=∡QSD−∡ESD=∡QCD−∡EST=∡QCD+∡TSE=∡QCD+∡BQT=−∡BQT+∡BQT−∡CPQ=−∡CPQ=−∡RPQ=∡QPR.◼
Пусть CT пересекает AE в точке N, а DT пересекает AB в точке M.Понятно что треугольники STE и QMT подобны значит SQMM-вписанный отсюда достаточно доказать что MN паралельно PR. Так как ∠NTE=∠MTB значит треугольники MBT и NTL подобны. Отсюда MTNT=BTCT значит треугольники MNT и CDT подобны отсюда PR паралельно MN.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.