5-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 2 тур

Задача №1. Три прямые

$a,b,c$ на рисунке ниже имеют угловые коэффициенты

$A,B,C$ соответственно. Какое из чисел

$A,B,C$ является:
   а) отрицательным;
   б) наибольшим;
   в) наименьшим?

комментарий/решение(1)

Задача №2. Числа

$a_1$ ,

$a_2$ ,

$\ldots$ ,

$a_{20}$ это некая перестановка чисел

$\frac11$ ,

$\frac12$ ,

$\ldots$ ,

$\frac{1}{20}$ . Оказалось, что для каждой из пар чисел

$(a_1,a_2)$ ,

$(a_3,a_4)$ ,

$\ldots,$

$(a_{17},a_{18})$ выполнено свойство: модуль разности чисел в каждой паре равен их произведению, то есть

$|a_1-a_2|=a_1a_2$ ,

$|a_3-a_4|=a_3a_4,$ и т.д. Обязательно ли это свойство выполнено для пары

$(a_{19},a_{20})$ ?
комментарий/решение(1)

Задача №3. Сколько натуральных чисел, меньших 11111100111, записано только цифрами 0 и 1?
комментарий/решение(2)

Задача №4. Произведение 25 натуральных чисел оканчивается на 25. Докажите, что среди них найдется 3 числа, произведение которых тоже оканчивается на 25.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Треугольник

$ABC$ , в котором

$AB=AC$ , будем называть равнобедренным треугольником при вершине

$A$ . Дана звезда, в которой отмечены треугольники с номерами 1, 2, 3, 4, 5, имеющие вершины

$A_1,A_2,A_3,A_4,A_5$ соответственно. Могло ли оказаться так, что треугольники 1, 3, 5 являются равнобедренными при вершинах

$A_1$ ,

$A_3$ ,

$A_5$ соответственно, а треугольники 2 и 4 также являются равнобедренными, но не при вершинах

$A_2$ ,

$A_4$ соответственно.

комментарий/решение