26-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Босния и Герцеговины, 2022 год

Задача №1.  Найти все пары натуральных чисел $(a, b)$ таких, что $11ab \le a^3 - b^3 \le 12ab.$
комментарий/решение(9)

---

Задача №2.  В остроугольном $\triangle ABC$, где точка $H$ — ортоцентр, а $AD$ — высота, выполнено равенство $AH = HD$. Прямая $\ell$ проходит через точку $H$ и касается описанной окружности $\triangle BHC$. Пусть $\ell$ пересекает $AB$ и $AC$ в точках $S$ и $T$ соответственно. Точки $M$ и $N$ — середины отрезков $BH$ и $CH$ соответственно. Докажите, что $SM \parallel TN$.
комментарий/решение(3)

---

Задача №3.  Найти все четверки натуральных чисел $(p, q, a, b)$, где $p$ и $q$ — простые числа и $a > 1$, для которых выполнено равенство $p^a = 1 + 5q^b.$
комментарий/решение(2)

---

Задача №4.  Назовём четное положительное число $n$ хорошим, если множество $\{1, 2, \ldots, n\}$ можно разделить на $n/2$ двухэлементные подмножества такие, что сумма элементов в каждом подмножестве является степенью числа 3. Например, число 6 является хорошим, так как множество $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ можно разделить на подмножества $\{1, 2\}$ ,$\{3, 6\}$ ,$\{4, 5\}$. Найдите количество хороших чисел, меньших $3^{2022}$.
комментарий/решение(1)

---