26-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Босния и Герцеговины, 2022 год

Задача №1. Найти все пары натуральных чисел

$(a, b)$ таких, что

$11ab \le a^3 - b^3 \le 12ab.$
комментарий/решение(9)

Задача №2. В остроугольном

$\triangle ABC$ , где точка

$H$ — ортоцентр, а

$AD$ — высота, выполнено равенство

$AH = HD$ . Прямая

$\ell$ проходит через точку

$H$ и касается описанной окружности

$\triangle BHC$ . Пусть

$\ell$ пересекает

$AB$ и

$AC$ в точках

$S$ и

$T$ соответственно. Точки

$M$ и

$N$ — середины отрезков

$BH$ и

$CH$ соответственно. Докажите, что

$SM \parallel TN$ .
комментарий/решение(3)

Задача №3. Найти все четверки натуральных чисел

$(p, q, a, b)$ , где

$p$ и

$q$ — простые числа и

$a > 1$ , для которых выполнено равенство

$p^a = 1 + 5q^b.$
комментарий/решение(2)

Задача №4. Назовём четное положительное число

$n$ хорошим, если множество

$\{1, 2, \ldots, n\}$ можно разделить на

$n/2$ двухэлементные подмножества такие, что сумма элементов в каждом подмножестве является степенью числа 3. Например, число 6 является хорошим, так как множество

$\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ можно разделить на подмножества

$\{1, 2\}$ ,

$\{3, 6\}$ ,

$\{4, 5\}$ . Найдите количество хороших чисел, меньших

$3^{2022}$ .
комментарий/решение(1)

результаты