26-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Босния и Герцеговины, 2022 год
Комментарий/решение:
Давайте разберем случай этого мистера ибо у меня вышло то же самое:
$1)$ $b=a-1$
Подставляем под неравенство $a^3-b^3 \geq 11ab$ и получим что $8a+1 \geq 8a^2$, неравенство очевидно неверное при $a>1.$
$2)$ $b=a-2$ и $5a^2-10a-8 \leq 0$ и $a=2$ но это невозможно.
$3)$ $b=a-3$ и $2a^2-6a-27 \leq 0$ и $a=2,3,4,5$ значит $a=4,5$ и соответственно $b=1,2$, но подставив $(4,1)$ это неверно.
$4)$ $b=a-4$ и если подставить это под $12ab \geq a^3-b^3$ то выйдет $0 \geq 64$ что невозможно.
ответ: $(5;2)$
ясно что $a\geq {b+1 }$ и тогда пусть $a= b+n$ $n\geq5$ $a^3-b^3 = (b+n)^3-b^3=(b^2+n^2+2bn)(b+n)-b^3=2nb^2+bn^2+n^3+nb^2+2bn^2=3n^2b+3b^2n+n^3>12b^2+12bn$т.к. $n\geq5$ то $3n^2b>12b^2$ и $3n^2b>12bn$ а по условию $12ab\geq$ так что обязательно $a\leq b+4$
откуда остается разобрать $4$ варианта
$a=b+1$ тогда получается что невозможно
$a=b+2$ тогда получается ответ только при $a=2,1$но тогда $b$ не будет натуральным что невозможно
$a=b+3$ тогда ответы только $a=2,3,4,5$ и значит две пары $a=4,b=1$,$a=5,b=2$ подставлем первую пару не получается если вторую то получается
$a=b+4$ тогда невозможно т.к. $64>0$ а там говорится о обратном
Единственные ответы $(a;b)=5;2$
Я знаю просто расписал по другому доказательство $a\leq {b+4}$
$P.S $ я говорил каким то людям не надо накручивать но им было пофиг (хотя я их просил что не надо ,я не хочу ) так что если мне админ отнимет $230$ лайков мне будет пофиг так как я знаю что мне специально накрутили кто-то не по моей воле
Уважаемый Мопсичек можете пожалуста не докапыватся до Алихан Серика и не оскорблять Астана Бил просто вам реально делать нечего
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.