26-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Босния и Герцеговины, 2022 год
Комментарий/решение:
Давайте разберем случай этого мистера ибо у меня вышло то же самое:
1) b=a−1
Подставляем под неравенство a3−b3≥11ab и получим что 8a+1≥8a2, неравенство очевидно неверное при a>1.
2) b=a−2 и 5a2−10a−8≤0 и a=2 но это невозможно.
3) b=a−3 и 2a2−6a−27≤0 и a=2,3,4,5 значит a=4,5 и соответственно b=1,2, но подставив (4,1) это неверно.
4) b=a−4 и если подставить это под 12ab≥a3−b3 то выйдет 0≥64 что невозможно.
ответ: (5;2)
ясно что a≥b+1 и тогда пусть a=b+n n≥5 a3−b3=(b+n)3−b3=(b2+n2+2bn)(b+n)−b3=2nb2+bn2+n3+nb2+2bn2=3n2b+3b2n+n3>12b2+12bnт.к. n≥5 то 3n2b>12b2 и 3n2b>12bn а по условию 12ab≥ так что обязательно a≤b+4
откуда остается разобрать 4 варианта
a=b+1 тогда получается что невозможно
a=b+2 тогда получается ответ только при a=2,1но тогда b не будет натуральным что невозможно
a=b+3 тогда ответы только a=2,3,4,5 и значит две пары a=4,b=1,a=5,b=2 подставлем первую пару не получается если вторую то получается
a=b+4 тогда невозможно т.к. 64>0 а там говорится о обратном
Единственные ответы (a;b)=5;2
Я знаю просто расписал по другому доказательство a≤b+4
P.S я говорил каким то людям не надо накручивать но им было пофиг (хотя я их просил что не надо ,я не хочу ) так что если мне админ отнимет 230 лайков мне будет пофиг так как я знаю что мне специально накрутили кто-то не по моей воле
Уважаемый Мопсичек можете пожалуста не докапыватся до Алихан Серика и не оскорблять Астана Бил просто вам реально делать нечего
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.