Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

26-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Босния и Герцеговины, 2022 год


Найти все пары натуральных чисел (a,b) таких, что 11aba3b312ab.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   2
2 года 3 месяца назад #

Заметим что ab+1

a3b3=(ab)(a2+ab+b2)

По AMGM a2+ab+b23ab, тогда 3ab(ab)a3b312ab, откуда ab+4. Остается разобрать случаи когда a=b+1,b+2,b+3,b+4

  1
2 года 9 месяца назад #

Давайте разберем случай этого мистера ибо у меня вышло то же самое:

1) b=a1

Подставляем под неравенство a3b311ab и получим что 8a+18a2, неравенство очевидно неверное при a>1.

2) b=a2 и 5a210a80 и a=2 но это невозможно.

3) b=a3 и 2a26a270 и a=2,3,4,5 значит a=4,5 и соответственно b=1,2, но подставив (4,1) это неверно.

4) b=a4 и если подставить это под 12aba3b3 то выйдет 064 что невозможно.

ответ: (5;2)

пред. Правка 2   4
2 года 3 месяца назад #

ясно что ab+1 и тогда пусть a=b+n n5 a3b3=(b+n)3b3=(b2+n2+2bn)(b+n)b3=2nb2+bn2+n3+nb2+2bn2=3n2b+3b2n+n3>12b2+12bnт.к. n5 то 3n2b>12b2 и 3n2b>12bn а по условию 12ab так что обязательно ab+4

откуда остается разобрать 4 варианта

a=b+1 тогда получается что невозможно

a=b+2 тогда получается ответ только при a=2,1но тогда b не будет натуральным что невозможно

a=b+3 тогда ответы только a=2,3,4,5 и значит две пары a=4,b=1,a=5,b=2 подставлем первую пару не получается если вторую то получается

a=b+4 тогда невозможно т.к. 64>0 а там говорится о обратном

Единственные ответы (a;b)=5;2

  0
2 года 3 месяца назад #

чел, над тобой идентичное решение

пред. Правка 3   3
2 года 3 месяца назад #

Я знаю просто расписал по другому доказательство ab+4

пред. Правка 2   1
2 года 3 месяца назад #

гений, какая разница

P.S Тебе не стыдно накручивать лайки? Ты стоишь выше Matov'а, который занимался математикой раньше чем ты родился.

  4
2 года 3 месяца назад #

P.S я говорил каким то людям не надо накручивать но им было пофиг (хотя я их просил что не надо ,я не хочу ) так что если мне админ отнимет 230 лайков мне будет пофиг так как я знаю что мне специально накрутили кто-то не по моей воле

  0
1 года 4 месяца назад #

Уважаемый Мопсичек можете пожалуста не докапыватся до Алихан Серика и не оскорблять Астана Бил просто вам реально делать нечего

  1
1 года 4 месяца назад #

Я с вами соглашусь, уважаемый, MironNemiron.