26-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Босния и Герцеговины, 2022 год


Назовём четное положительное число хорошим, если множество можно разделить на двухэлементные подмножества такие, что сумма элементов в каждом подмножестве является степенью числа 3. Например, число 6 является хорошим, так как множество можно разделить на подмножества , ,. Найдите количество хороших чисел, меньших .
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   5
2 года 3 месяца назад #

Ответ:

Положим таким, что для данного хорошего . Пусть при разбиении на двухэлементные подмножества, в паре с , тогда их сумма больше , но не больше . Значит

Если в паре , то

, из чего следует, что числа на отрезке сгруппированы между собой, следовательно числа также сгруппированы между собой, т.е. тоже хорошее число. Легко понять, что если хорошее, то хорошее.

Пусть - количество хороших чисел, меньших . Из вышевыведенного факта следует, что (1 добавляется, поскольку требуется учесть ). Очевидно , откуда .