26-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Босния и Герцеговины, 2022 год
Назовём четное положительное число хорошим, если множество можно разделить на двухэлементные подмножества такие, что сумма элементов в каждом подмножестве является степенью числа 3. Например, число 6 является хорошим, так как множество можно разделить на подмножества , ,. Найдите количество хороших чисел, меньших .
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Ответ:
Положим таким, что для данного хорошего . Пусть при разбиении на двухэлементные подмножества, в паре с , тогда их сумма больше , но не больше . Значит
Если в паре , то
, из чего следует, что числа на отрезке сгруппированы между собой, следовательно числа также сгруппированы между собой, т.е. тоже хорошее число. Легко понять, что если хорошее, то хорошее.
Пусть - количество хороших чисел, меньших . Из вышевыведенного факта следует, что (1 добавляется, поскольку требуется учесть ). Очевидно , откуда .
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.