26-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Босния и Герцеговины, 2022 год
Комментарий/решение:
Пусть точка $P$ на стороне $AB$ такова что $HP \parallel BC$, а так же $Q$ на стороне $AC(HQ \parallel BC)$. Тогда $HP$ и $HQ$ являются средними линиями треугольниками $ADB$ и $ADC$ соответственно. Из чего следует, что $P$ и $Q$, середины $AB$ и $AC$ соответственно. Теперь докажем два утверждения,
$Утверждение 1$: $PHMS$ вписанный четырехугольник.
$AH \parallel PM \Rightarrow \angle BPM = \angle BAH= \angle HCM = \angle SHM. $
$Утверждения 2: HTQN$ вписанный.
$PN \parallel AN \Rightarrow \angle NQC = \angle HAQ = \angle HBC = \angle QHC.$
Теперь заметим что $\angle APH = \angle ABD = 90 - \angle BAD = \angle SHM = \angle SMN$, и тогда в треугольнике $MSH$ $\angle MSH = 90$. Аналогично доказывается что $HT \perp TN$, ч.т.д.
Поскольку CH касается
описанной окружности треугольника BHC, имеем
∠SHB = ∠HCB = 90◦ − ∠ABC = ∠HAB.
Из вышесказанного следует, что треугольники AHB и HSB подобны. Если K обозначает
середина AB, то треугольники AHK и HSM также подобны. Теперь заметим, что H и
K — середины AD и AB соответственно, откуда следует, что HK ∥ DB, поэтому
∠AHK = ∠ADB = 90◦
.
Теперь из последнего наблюдения и подобия треугольников AHK и HSM следует
что
∠HSM = ∠AHK = 90◦.
В силу симметрии аналогично предыдущему можно доказать, что ∠HT N = 90◦
, подразумевая, что
и SM, и T N перпендикулярны TS, следовательно, они параллельны.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.