Processing math: 100%

26-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Босния и Герцеговины, 2022 год


В остроугольном ABC где точка H — ортоцентр, а AD — высота, выполнено равенство AH=HD. Прямая проходит через точку H и касается описанной окружности BHC. Пусть пересекает AB и AC в точках S и T соответственно. Точки M и N — серединыотрезковBH и CH соответственно. Докажите, что SMTN.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   6
2 года 9 месяца назад #

Пусть точка P на стороне AB такова что HPBC, а так же Q на стороне AC(HQBC). Тогда HP и HQ являются средними линиями треугольниками ADB и ADC соответственно. Из чего следует, что P и Q, середины AB и AC соответственно. Теперь докажем два утверждения,

Утверждение1: PHMS вписанный четырехугольник.

AHPMBPM=BAH=HCM=SHM.

Утверждения2:HTQN вписанный.

PNANNQC=HAQ=HBC=QHC.

Теперь заметим что APH=ABD=90BAD=SHM=SMN, и тогда в треугольнике MSH MSH=90. Аналогично доказывается что HTTN, ч.т.д.

пред. Правка 2   1
2 года 9 месяца назад #

Что за точка K? возможно вы имели ввиду K=P и PHMS вписанный

пред. Правка 2   0
1 года 5 месяца назад #

Поскольку CH касается

описанной окружности треугольника BHC, имеем

∠SHB = ∠HCB = 90◦ − ∠ABC = ∠HAB.

Из вышесказанного следует, что треугольники AHB и HSB подобны. Если K обозначает

середина AB, то треугольники AHK и HSM также подобны. Теперь заметим, что H и

K — середины AD и AB соответственно, откуда следует, что HK ∥ DB, поэтому

∠AHK = ∠ADB = 90◦

.

Теперь из последнего наблюдения и подобия треугольников AHK и HSM следует

что

∠HSM = ∠AHK = 90◦.

В силу симметрии аналогично предыдущему можно доказать, что ∠HT N = 90◦

, подразумевая, что

и SM, и T N перпендикулярны TS, следовательно, они параллельны.