26-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Босния и Герцеговины, 2022 год
Комментарий/решение:
Пусть точка P на стороне AB такова что HP∥BC, а так же Q на стороне AC(HQ∥BC). Тогда HP и HQ являются средними линиями треугольниками ADB и ADC соответственно. Из чего следует, что P и Q, середины AB и AC соответственно. Теперь докажем два утверждения,
Утверждение1: PHMS вписанный четырехугольник.
AH∥PM⇒∠BPM=∠BAH=∠HCM=∠SHM.
Утверждения2:HTQN вписанный.
PN∥AN⇒∠NQC=∠HAQ=∠HBC=∠QHC.
Теперь заметим что ∠APH=∠ABD=90−∠BAD=∠SHM=∠SMN, и тогда в треугольнике MSH ∠MSH=90. Аналогично доказывается что HT⊥TN, ч.т.д.
Поскольку CH касается
описанной окружности треугольника BHC, имеем
∠SHB = ∠HCB = 90◦ − ∠ABC = ∠HAB.
Из вышесказанного следует, что треугольники AHB и HSB подобны. Если K обозначает
середина AB, то треугольники AHK и HSM также подобны. Теперь заметим, что H и
K — середины AD и AB соответственно, откуда следует, что HK ∥ DB, поэтому
∠AHK = ∠ADB = 90◦
.
Теперь из последнего наблюдения и подобия треугольников AHK и HSM следует
что
∠HSM = ∠AHK = 90◦.
В силу симметрии аналогично предыдущему можно доказать, что ∠HT N = 90◦
, подразумевая, что
и SM, и T N перпендикулярны TS, следовательно, они параллельны.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.