26-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Босния и Герцеговины, 2022 год

В остроугольном $\triangle ABC$ где точка $H$ — ортоцентр, а $AD$ — высота, выполнено равенство $AH = HD$. Прямая $\ell$ проходит через точку $H$ и касается описанной окружности $\triangle BHC$. Пусть $\ell$ пересекает $AB$ и $AC$ в точках $S$ и $T$ соответственно. Точки $M$ и $N$ — середины$ отрезков BH$ и $CH$ соответственно. Докажите, что $SM \parallel TN$.

Комментарий/решение

Пусть точка $P$ на стороне $AB$ такова что $HP \parallel BC$, а так же $Q$ на стороне $AC(HQ \parallel BC)$. Тогда $HP$ и $HQ$ являются средними линиями треугольниками $ADB$ и $ADC$ соответственно. Из чего следует, что $P$ и $Q$, середины $AB$ и $AC$ соответственно. Теперь докажем два утверждения,

$Утверждение 1$: $PHMS$ вписанный четырехугольник.

$AH \parallel PM \Rightarrow \angle BPM = \angle BAH= \angle HCM = \angle SHM. $

$Утверждения 2: HTQN$ вписанный.

$PN \parallel AN \Rightarrow \angle NQC = \angle HAQ = \angle HBC = \angle QHC.$

Теперь заметим что $\angle APH = \angle ABD = 90 - \angle BAD = \angle SHM = \angle SMN$, и тогда в треугольнике $MSH$ $\angle MSH = 90$. Аналогично доказывается что $HT \perp TN$, ч.т.д.

Что за точка $K$? возможно вы имели ввиду $K=P$ и $PHMS$ вписанный

Поскольку CH касается

описанной окружности треугольника BHC, имеем

∠SHB = ∠HCB = 90◦ − ∠ABC = ∠HAB.

Из вышесказанного следует, что треугольники AHB и HSB подобны. Если K обозначает

середина AB, то треугольники AHK и HSM также подобны. Теперь заметим, что H и

K — середины AD и AB соответственно, откуда следует, что HK ∥ DB, поэтому

∠AHK = ∠ADB = 90◦

.

Теперь из последнего наблюдения и подобия треугольников AHK и HSM следует

что

∠HSM = ∠AHK = 90◦.

В силу симметрии аналогично предыдущему можно доказать, что ∠HT N = 90◦

, подразумевая, что

и SM, и T N перпендикулярны TS, следовательно, они параллельны.