Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

26-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Босния и Герцеговины, 2022 год


Найти все четверки натуральных чисел (p,q,a,b), где p и q — простые числа и a>1, для которых выполнено равенство pa=1+5qb.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   11
2 года 6 месяца назад #

Ответ: (p,q,a,b)=(2,3,4,1);(3,2,4,4)

Очевидно, что одно из чисел p и q четное, а другое нечетное

i) p=2,q3

Тогда 2a=5qb+1. 5qb+11(mod5), 2a2,4,3,1(mod5)4|a. Тогда получим, что 5×qb=2a13q=3. Если b2, то 2a1(mod9). Но ord92=6. Значит a=6k для kZ. Это означает, что 26k=5×3b+1. Заметим, что (26)l1(mod7) по малой теореме Ферма. Следовательно, 5×3b делится на 7 что невозможно

Значит b=1 и a=4 В этом случае ответ p=2, q=3, a=4, b=1

ii)q=2,p3

pa=1+5×2b. Допустим, что a нечетное. Тогда:

(p+1)(pa1++1)=5×2b

Поскольку число a нечетно, то число (pa1++1) тоже. Следовательно оно равно 5. Но это очевидно невозможно поскольку a3,p3.

Значит 2|a. Заметим, что 5×2b+12,0(mod3). Мы уже знаем что a нечетно, значит p=3. Теперь уравнение имеет вид 3a=5×2b+1. Рассмотрим (mod 5). 3k3,4,2,1(mod5)4|a. Тогда (3a2+1)(3a21)=5×2b. Заметим что v2(3a2+1)=1. Значит 3a2+1{2,10}. Из этого следует p=3, q=2, a=4, b=4.

пред. Правка 3   2
1 года 1 месяца назад #

Понятно что одно из них равно двум

1)p=2

По моду 3 понимаем что q=3. По моду 5 понимаем что а делится на 4. По моду 9 если b хотя бы 2 понимаем что a делится на 6 отсюда по моду 25 224k дает 1 , но 53b не может делится на 25 значит (p,a,b,q)=(2,4,1,3)

2)q=2

По моду 5 понимаем что а делится на 4 отсюда так как

p2k+1 и p2k1 имеют нод 2 значит один из них равен 10 отсюда (p,a,b,q)=(3,4,4,2)