26-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Босния и Герцеговины, 2022 год
Комментарий/решение:
Ответ: (p,q,a,b)=(2,3,4,1);(3,2,4,4)
Очевидно, что одно из чисел p и q четное, а другое нечетное
i) p=2,q≥3
Тогда 2a=5qb+1. 5qb+1≡1(mod5), 2a≡2,4,3,1(mod5)⟹4|a. Тогда получим, что 5×qb=2a−1⋮3⟹q=3. Если b≥2, то 2a≡1(mod9). Но ord92=6. Значит a=6k для k∈Z. Это означает, что 26k=5×3b+1. Заметим, что (26)l≡1(mod7) по малой теореме Ферма. Следовательно, 5×3b делится на 7 что невозможно
Значит b=1 и a=4 В этом случае ответ p=2, q=3, a=4, b=1
ii)q=2,p≥3
pa=1+5×2b. Допустим, что a нечетное. Тогда:
(p+1)(pa−1+⋯+1)=5×2b
Поскольку число a нечетно, то число (pa−1+⋯+1) тоже. Следовательно оно равно 5. Но это очевидно невозможно поскольку a≥3,p≥3.
Значит 2|a. Заметим, что 5×2b+1≡2,0(mod3). Мы уже знаем что a нечетно, значит p=3. Теперь уравнение имеет вид 3a=5×2b+1. Рассмотрим (mod 5). 3k≡3,4,2,1(mod5)⟹4|a. Тогда (3a2+1)(3a2−1)=5×2b. Заметим что v2(3a2+1)=1. Значит 3a2+1∈{2,10}. Из этого следует p=3, q=2, a=4, b=4.
Понятно что одно из них равно двум
1)p=2
По моду 3 понимаем что q=3. По моду 5 понимаем что а делится на 4. По моду 9 если b хотя бы 2 понимаем что a делится на 6 отсюда по моду 25 224k дает 1 , но 5•3b не может делится на 25 значит (p,a,b,q)=(2,4,1,3)
2)q=2
По моду 5 понимаем что а делится на 4 отсюда так как
p2k+1 и p2k−1 имеют нод 2 значит один из них равен 10 отсюда (p,a,b,q)=(3,4,4,2)
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.