Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2022 год

Есеп №1.

$a^3$ саны

$b^2$ санына, ал

${b-1}$ саны

${a-1}$ санына бөлінетіндей барлық

$(a,b)$ натурал сандар жұбын табыңыз.
комментарий/решение(6)

Есеп №2.

$ABC$ үшбұрышында

$\angle B = 90^\circ$ .

$D$ нүктесі

$CB$ түзуінде

$B$ нүктесі

$D$ мен

$C$ арасында жататындай алынған.

$E$ нүктесі --

$AD$ кесіндісінің ортасы, ал

$ACD$ және

$BDE$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет

$F$ нүктесінде қиылысады.

$D$ нүктесінің алуына қарамастан, барлық

$EF$ түзулері тұрықты нүкте арқылы өтетінін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №3. Келесі шартты қанағаттандыратын барлық натурал

$k < 202$ сандарын табыңыз: әр табылған

$k$ саны үшін

$\left\{ {\frac{n}{{202}}} \right\} + \left\{ {\frac{{2n}}{{202}}} \right\} + \ldots + \left\{ {\frac{{kn}}{{202}}} \right\} = \frac{k}{2}$ теңдігі орындалатындай натурал

$n$ саны табылады. (

$x$ санының бөлшек

$\{x\}$ бөлігі деп,

$\{x\} = x-[x]$ санын айтамыз. Бұл жерде

$[x]$ саны

$x$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін сан.)
комментарий/решение(8)

Есеп №4.

$n$ мен

$k$ — натурал сандар. Кэти келесі ойын ойнайды.

$n$ шар мен

$k$ жәшік бар. Шарлар 1-ден

$n$ -ге дейінгі сандармен нөмірленген. Басында барлық шарлар бір жәшікке салынған. Әр жүрісте Кэти бос емес жәшікті таңдап, сол жерден ең кіші нөмірлі шарды алып, айталық

$i$ нөмірлі, сосын сол шарды немесе кез келген бос жәшікке салады, немесе ішінде

${i + 1}$ нөмірлі шары бар жәшікке салады. Егер қандай да бір уақытта ішінде тек

$n$ нөмірлі шары бар жәшік табылса, Кэти осы ойында жеңіске жетті деген сөз. Осы ойында Кэти жеңіске жете алатындай, барлық

$(n; k)$ сандар жұбын анықтаңыздар.
комментарий/решение(6)

Есеп №5. Нақты

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d$ сандары үшін

$a^2+b^2+c^2+d^2=1$ теңдігі орындалады.

${(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)}$ өрнегінің ең кіші мәнін анықтаңыз, және өрнек мәні тапқан ең кіші мәнге тең болатындай барлық

$(a,b,c,d)$ төрттіктерін табыңыз.
комментарий/решение(4)

результаты