Processing math: 80%

Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2022 год


Найдите все пары натуральных чисел (a,b) таких, что a3 делится на b2, и b1 делится на a1.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   2
2 года 9 месяца назад #

Так как b2|a3 то b2|a4 поэтому b|a2.

Пусть a2=bm и b1=(a1)n. Следовательно

a1|a21=(b1)m+m1 поэтому a1|m1.

Если b=1 тогда a - любое натуральное число >1

Если b>1 тогда из b1=(a1)n следует что ba.

Из a1|m1 :

Если m=1 тогда b=a2 , что неверно для любых a>1

Поэтому ma:

Если m=a тогда a=b=k>1

Остается случай m>a , но тогда a2=bm>aba2 - противоречие.

  0
2 года 9 месяца назад #

a3=b2k and b1(mod a1).

a1(mod a1)a31(mod a1.)

a3b2kk1a1|k1

i)k=1 a3=b2 пусть a3=c6 and b=c3 so c21|c31 and c+1|c2+c+1, c1 (mod c+1)ϕ

ii) k>1 and k1a1

1) k=aa=b

2) k1>a1 so k>a and b<a but by second condition it violates the rules until b=1 and a is any natural number.

answers:a=b, b=1,aN>1

пред. Правка 2   6
2 года назад #

a1b1; ab

b2a3

Значит: b2a4; ba2

Из чего:

b(a1)(b1)a2;

abba2ba2;

abba2bab;

abba2ab;

abba2ab+abb;

abba2b;

aba2; abba2b;

Выходит 3 случая:

abb=a2b;

a2b=0;

a2b=k(abb); где kZ+

Для первого случая:

a=b;

Для второго:

a4=b2;

a4a3;

Из чего:

a=b=1;

Для третьего:

a2=babk+bk; a2>0;

a2=b(1+kak);

k+1>ak;

k+1ak+1;

kak;

1a;

a=1=b;

Также заметим что для b=1 работают все a

Ответ: (a,b;)=(k,k;);(k,1;)

  1
1 года 11 месяца назад #

Обозначим НОД(a;b) = d. Пусть a=dx и b=dy, где x и y взаимнопросты. Тогда ввиду того, что b \equiv 1 \equiv a \pmod {a-1}, то dx \equiv dy \pmod {dx-1}. Тогда dx - 1 | dx-dy. То есть

dx-1 | d(x-y). Отсюда лишь два варианта:

1) d=1 \Rightarrow НОД(a;b)=1 \Rightarrow либо a=b=1, чего не может быть, либо b=1 и в таком случае a - любое натуральное > 1

2) x=y \Rightarrow (a;b) \in (n;n), n \in N

  4
1 года 3 месяца назад #

Пусть a^3=kb^2. Предположим, что b не 1 ((a, 1) — решение). Тогда a^3-1=kb^2-1, так что a-1 | kb^2-1 \equiv -1 (mod a-1). Итак, либо k=1 (тогда a=x^2, b=x^3, поэтому x^2-1 | x^3-1, поэтому, взяв по модулю x+1, мы видим x= 1), или a \leq k, так что a^3=kb^2 \geq ab^2, так что a \geq b, но a-1 \leq b-1 из второго делимости, так что a=b