Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2022 год

Задача №1. Найдите все пары натуральных чисел

$(a,b)$ таких, что

$a^3$ делится на

$b^2$ , и

${b-1}$ делится на

${a-1}$ .
комментарий/решение(6)

Задача №2. В треугольнике

$ABC$

$\angle B = 90^\circ$ . На прямой

$CB$ выбрали точку

$D$ так, что

$B$ лежит между точками

$D$ и

$C$ . Пусть

$E$ — середина отрезка

$AD$ и

$F$ — вторая точка пересечения окружностей, описанных около треугольников

$ACD$ и

$BDE$ . Докажите, что все такие прямые

$EF$ проходят через фиксированную точку, независимо от выбора точки

$D$ .
комментарий/решение(2)

Задача №3. Найдите все натуральные числа

$k < 202$ , для каждого из которых существует натуральное число

$n$ такое, что

$\left\{ {\frac{n}{{202}}} \right\} + \left\{ {\frac{{2n}}{{202}}} \right\} + \ldots + \left\{ {\frac{{kn}}{{202}}} \right\} = \frac{k}{2}.$ Дробной частью числа

$x$ называется такое число

$\{x\}$ , что

$\{x\} = x-[x]$ , где

$[x]$ это наибольшее целое число, не превосходящее

$x$ .
комментарий/решение(8)

Задача №4. Пусть

$n$ и

$k$ — натуральные числа. Кэти играет в следующую игру. Имеется

$n$ шариков и

$k$ коробок, причем шарики пронумерованы числами от 1 до

$n$ . Изначально все шарики помещаются в одну коробку. На каждом ходу Кэти выбирает непустую коробку, а затем из неё перемещает шарик с наименьшим номером, скажем

$i$ , либо в любую другую пустую коробку, либо в коробку, содержащую шарик с номером

${i + 1}$ . Кэти выигрывает, если в какой-то момент найдется коробка, содержащая только шарик с номером

$n$ . Найдите все пары чисел

$(n; k)$ , при которых Кэти может выиграть в этой игре.
комментарий/решение(6)

Задача №5. Пусть

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d$ действительные числа такие, что

$a^2+b^2+c^2+d^2=1$ . Найдите наименьшее значение выражения

${(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)}$ и найдите все четвёрки

$(a,b,c,d)$ , для которых это значение достигается.
комментарий/решение(4)

результаты