Математикадан республикалық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 9 сынып
Комментарий/решение:
Рассмотрим по модулю 3. Для всех натуральных a выполнено a^3-a=a*(a+1)*(a-1) \equiv 0 \pmod{3} Значит a^3+b^3+c^3 \equiv a+b+c \pmod {3} \Rightarrow последнее число сравнимо с суммой изначальных чисел, т.е. 1+2+3+\dots+25 \equiv 1 \pmod {3}, но 2013^3 \equiv 0 \pmod {3}, следовательно, полседним числом не могло быть 2013^3.
Допустим это возможно. По МТФ а^3=а по модулю 3. Тогда а^3+b^3+c^3= a+b+c по модулю 3. Значит сумма чисел на доске инвариантна по модулю 3. 1+..+25=1 по модулю 3. Но 2013^3 делиться на 3. Противоречие.
т.к. все числа в кубе дают по моду 10 разный остаток 1^3\equiv 1 \pmod{10} ,2^3\equiv 8 \pmod{10} ,,3^3\equiv 7 \pmod{10} ,,4^3\equiv 4 \pmod{10} ,,5^3\equiv 5 \pmod{10} ,,6^3\equiv 6\pmod{10} ,,7^3\equiv 3 \pmod{10} ,,8^3\equiv 2 \pmod{10} ,,9^3\equiv 9 \pmod{10},10^3\equiv 0 \pmod{10} , значит сумируем все числа от 1 до 25 и находим последнию цифру это 5 а последняя цифра 2013^3 это 7 так что это невозможно
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.