Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2025 год

Остроугольный треугольник $ABC$ вписан в окружность $\Gamma$. В треугольнике проведена высота $AA_1$, а из точки $A_1$ опущены перпендикуляры $A_1B_1$ и $A_1C_1$ на прямые $AB$ и $AC$ соответственно. Точка $P$ такова, что $AB_1 P C_1$ — выпуклый четырёхугольник, площадь которого равна площади треугольника $ABC$. Могло ли оказаться так, что $P$ лежит строго внутри $\Gamma$? Ответ обоснуйте.

Комментарий/решение

Без ограничения общности, пусть $AB<AC$.

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ${\color{red} {\mathbf{Утвержденияㅤ1}}}:$ Если $H$ — ортоцентр, а $O$ — центр описанной окружности $\triangle ABC$, то $\angle BAH = \angle CAO$.

${\color{blue} {\mathbf{Доказательство}}}:$ Пусть $AO\cap (ABC)=D$, а $AH\cap BD=E$. Тогда $\angle EBA=90^\circ$, следовательно $EB\perp BC$. Поэтому $\angle BAH=\angle EBC=\angle CAO$. $\blacksquare$

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤ${\color{red} {\mathbf{Утвержденияㅤ2}}}:$ Если в четырёхугольнике $ABCD$ площади треугольников $\triangle ACD$ и $\triangle BCD$ равны, то $AB\parallel CD$.

${\color{blue} {\mathbf{Доказательство}}}:$ Пусть $AD\cap BC=E$. Тогда $S(AEC)=S(BED)$, откуда $CE\cdot AE = DE\cdot BE \;\;\Rightarrow\;\; \tfrac{CE}{DE}=\tfrac{AE}{BE}$. Так как $\angle CED=\angle AEB$, получаем подобие $\triangle CDE\sim\triangle ABE$. Следовательно, $AB\parallel CD$. $\blacksquare$

Пусть $D$ - точка на $B_1C_1$ такая, что $AD\perp B_1C_1$. $E=AD\cap A_1C_1$ и $F=AD\cap\Gamma$. Тогда $\angle EDC_1=90^\circ=\angle ACE_1$, поэтому $\angle CAF=\angle EC_1B_1=\angle BAA_1$. Значить $AF$ - диаметр $\Gamma\Rightarrow$ $FC\parallel A_1C_1$ и $FB\parallel A_1B_1$. Отсюда $S(AB_1PC_1) = S(ABC) = S(AB_1A_1C_1)+S(BB_1A_1)+S(CC_1A_1) = S(AB_1A_1C_1)+S(FB_1A_1)+S(FC_1A_1) = S(AB_1FC_1)$. Следовательно, $S(PB_1C_1)=S(FB_1C_1)$, что означает $PF\parallel B_1C_1$. Так как $AF\perp B_1C_1$, имеем $PF\perp AF$, то есть $PF$ касается окружности $\Gamma$. Следовательно, ответ нет

Так тут же очевидно, что гмт точек P должно находится на отрезке параллельной $B_1C_1$, которая не выходит за точку $B$ и $C$ и находится внутри угла $BAC$, а тут уже не может быть такого, что площадь $B_1PC_1$ равна $BB_1C_1C$, что значит ответ нет