Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2023 год

$ABC$ үшбұрышы ішінде $L$ нүктесі үшін $CL=AB$ және $\angle BAC+\angle BLC=180^\circ$ теңдіктері орындалады. $BC$ түзуіне параллель және $L$ нүктесі арқылы өтетін түзу $AC$ қабырғасын $K$ нүктесінде қиып өтеді. $AB=BK$ екенін дәлелдеңіз. ( А. Антропов )

Комментарий/решение

Так как $\sin BLC = \sin BAC \Rightarrow \frac{BC}{\sin BLC} = \frac{BC}{\sin BAC} = \frac{CL}{\sin LBC} = \frac{AB}{\sin BCA} \Rightarrow \sin BCA = \sin LBC$.

BL не парарелен $AC$, так как $L$ внутри треугольника, значит $LBC = BCA \Rightarrow BLKC$ равнобокая трапеция $\Rightarrow CL = BK = AB$.

Рассмотрим равнобокую трапецию $ABDC$.

По условию имеем, что D и L симметричны относительно BC.

Тогда $$\angle LBC = \angle CBD = \angle BCK$$

Значит $$KC = BL = BD$$ , $BDCK$ - параллелограмм. Тогда $$AB = DC = BK$$