Республиканская олимпиада по математике, 2024 год, 11 класс

Теңбүйірлі емес $ABC$ үшбұрышына центрі $I$ болатын $\omega$ шеңбері іштей сызылған. $\omega$ шеңбері $BC$, $CA$ және $AB$ қабырғаларын, сәйкесінше, $D$, $E$ және $F$ нүктелерінде жанайды. $ABC$ және $AEF$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет $K$ нүктесінде қиылысады. $EF$ және $AK$ түзулері $X$ нүктесінде қиылысып, ал $BC$ түзуін, сәйкесінше, $Y$ және $Z$ нүктелерінде қияды. $\omega$-ға $Y$ және $Z$ арқылы өтетін, әрі $BC$ түзуінен өзге жанама түзулер $\omega$-ны, сәйкесінше, $P$ және $Q$ нүктелерінде жанайды. $AP$ және $KQ$ түзулері $R$ нүктесінде қиылыссын. $M$ нүктесі — $YZ$ кесіндісінің ортасы. $IR\perp XM$ екенін дәлелдеңіз. ( Зауытхан А. )

Комментарий/решение

Легко увидеть что $(PDFE)-$гармонический четырехугольник значит $A-P-D$.

Заметим что $K,Q,D$ лежат на окружности с диаметром $ZI$ значит $(ZKQID)$.

Отсюда $-1=(Z,Q,I,D)\stackrel{A}{=}(A,T,R,D)$ где $KI \cap AD=T$ теперь спроецируем направления $-1=(XY,XZ,XM,X∞_{BC})$ через $I$ на $AD$ предварительно повернув каждое на $90^\circ$ тогда $XY \rightarrow IA$, $XZ \rightarrow IK$, $X∞_{BC} \rightarrow ID$ значит в силу гармоничности $XM \rightarrow IR$ из чего и следует искомая перпендикулярность.

Примечание: из этого решения видно что задача верна для любой точки $K$ на $(AEF)$.

Хорош

учился у лучших)

Точка $T$ это что?