Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2024 год, 9 класс


Бүтін m3 саны және мүшелер саны шексіз болатын (an)n1 натурал сандар тізбегі кез келген натурал n саны үшін an+2=2mam1n+1+am1nan+1 теңдігін қанағаттандырады. a1<2m екенін дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  7
1 года назад #

(an+2+an+1)m=2m(am1n+1+am1n)

(an+3+an+2)m=2m(am1n+2+am1n+1)

Тогда отнимем одно от другого:

(an+3+an+2)m(an+2+an+1)m=2m(am1n+2+am1n+1(am1n+1+am1n))

(an+3an+1)(...)=2m(an+2an)(...)

Причем, обе (...) - положительные, тк если их раскрыть то там будет:

acbc=(ab)(ac1+ac2b+...) правая штука больше нуля, ведь все числа натуральные.

Тогда, если an+2an, то an+3an+1. Но значит:

an+2an => an+3an+1

n+2=n+1

an+1an1 => an+2an

Отсюда, если an+3an+1, то an+2an. И так же задается an+2

Теперь, если 2ma1a3...., то a2a4

Значит (a3+a4)m=2m(am12+am13)=>(a3+a4)m(a3+a2)m

Значит 2m(am12+am13)(a3+a2)m

Но (a3+a2)m=am3+...+am12a3>am132m+am122m, так как ... - положительное. Значит am132m+am122m>am132m+am122m. Противоречие.

Тогда не могло быть такого, чтобы a1a3.

Значит a1>a3>.... Но отсюда, когда то они будут отрицательными отсюда противоречие. Значит a1<2m

  8
1 года назад #

Вы забыли случай a1=a3, но он легко разбирается.