Республиканская олимпиада по математике, 2024 год, 9 класс
Комментарий/решение:
(an+2+an+1)m=2m∗(am−1n+1+am−1n)
(an+3+an+2)m=2m∗(am−1n+2+am−1n+1)
Тогда отнимем одно от другого:
(an+3+an+2)m−(an+2+an+1)m=2m∗(am−1n+2+am−1n+1−(am−1n+1+am−1n))
(an+3−an+1)∗(...)=2m∗(an+2−an)(...)
Причем, обе (...) - положительные, тк если их раскрыть то там будет:
ac−bc=(a−b)(ac−1+ac−2∗b+...) правая штука больше нуля, ведь все числа натуральные.
Тогда, если an+2≥an, то an+3≥an+1. Но значит:
an+2≥an => an+3≥an+1
n+2=n+1
an+1≥an−1 => an+2≥an
Отсюда, если an+3≥an+1, то an+2≥an. И так же задается an+2
Теперь, если 2m≤a1≤a3≤...., то a2≤a4
Значит (a3+a4)m=2m∗(am−12+am−13)=>(a3+a4)m≥(a3+a2)m
Значит 2m∗(am−12+am−13)≥(a3+a2)m
Но (a3+a2)m=am3+...+am12∗a3>am−13∗2m+am−12∗2m, так как ... - положительное. Значит am−13∗2m+am−12∗2m>am−13∗2m+am−12∗2m. Противоречие.
Тогда не могло быть такого, чтобы a1≤a3.
Значит a1>a3>.... Но отсюда, когда то они будут отрицательными отсюда противоречие. Значит a1<2m
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.