Районная олимпиада, 2023-2024 учебный год, 10 класс

Пусть $P$, $Q$, $R$, $S$ середины сторон $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ ромба $ABCD$, соответственно. $X$ — точка, лежащая внутри ромба. Известно, что $XR=5$, $XQ=1$.
   а) Вычислите $XS$.
   б) Докажите, что $AB < 8$.

Комментарий/решение

а)

Пусть $X'$ - точка симметричная $X$ относительно центра симметрии ромба. Тогда из того, что $QXSX'$ - параллелограмм и из того, что $PQRS$ - прямоугольник следует:

$$2(XS^2+XQ^2)=XX'^2+QS^2=XX'^2+PR^2=2(XP^2+XR^2)$$

Поэтому $XS=7$.

б)

$AB=QS<XS+XQ=8$

Если $ABCD$ квадрат, то $AB = 8$