қазақша
русскийРайонная олимпиада, 2023-2024 учебный год, 10 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Можно ли в слове ОЛИМПИАДА заменить буквы цифрами так (разным буквам соответствуют разные цифры, одинаковым — одинаковые), чтобы полученное девятизначное число
а) делилось на 999?
б) на 1001?
комментарий/решение(1)
а) делилось на 999?
б) на 1001?
комментарий/решение(1)
Задача №2. На доске записаны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. За один ход можно стереть два числа $x$ и $y$ и записать вместо них другие два: $\frac{x - y}{\sqrt 2}$ и $\frac{x + y}{\sqrt 2}$. Можно ли за несколько ходов получить на доске числа:
а) 1, 1, 3, 3, 4, 5, 7, 8?
б) 2, 2, 3, 3, 5, 6, 6, 9?
комментарий/решение(2)
а) 1, 1, 3, 3, 4, 5, 7, 8?
б) 2, 2, 3, 3, 5, 6, 6, 9?
комментарий/решение(2)
Задача №3. Пусть $P$, $Q$, $R$, $S$ середины сторон $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ ромба $ABCD$, соответственно. $X$ — точка, лежащая внутри ромба. Известно, что $XR=5$, $XQ=1$.
а) Вычислите $XS$.
б) Докажите, что $AB < 8$.
комментарий/решение(2)
а) Вычислите $XS$.
б) Докажите, что $AB < 8$.
комментарий/решение(2)