Районная олимпиада, 2023-2024 учебный год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Можно ли в слове ОЛИМПИАДА заменить буквы цифрами так (разным буквам соответствуют разные цифры, одинаковым — одинаковые), чтобы полученное девятизначное число
а) делилось на 999?
б) на 1001?
комментарий/решение(1)

Задача №2. На доске записаны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. За один ход можно стереть два числа

$x$ и

$y$ и записать вместо них другие два:

$\frac{x - y}{\sqrt 2}$ и

$\frac{x + y}{\sqrt 2}$ . Можно ли за несколько ходов получить на доске числа:
а) 1, 1, 3, 3, 4, 5, 7, 8?
б) 2, 2, 3, 3, 5, 6, 6, 9?
комментарий/решение(2)

Задача №3. Пусть

$P$ ,

$Q$ ,

$R$ ,

$S$ середины сторон

$AB$ ,

$BC$ ,

$CD$ ,

$DA$ ромба

$ABCD$ , соответственно.

$X$ — точка, лежащая внутри ромба. Известно, что

$XR=5$ ,

$XQ=1$ .
а) Вычислите

$XS$ .
б) Докажите, что

$AB < 8$ .
комментарий/решение(2)