Районная олимпиада, 2023-2024 учебный год, 10 класс

На доске записаны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. За один ход можно стереть два числа $x$ и $y$ и записать вместо них другие два: $\frac{x - y}{\sqrt 2}$ и $\frac{x + y}{\sqrt 2}$. Можно ли за несколько ходов получить на доске числа:
   а) 1, 1, 3, 3, 4, 5, 7, 8?
   б) 2, 2, 3, 3, 5, 6, 6, 9?

Комментарий/решение

а) Шешу:}

1) $x = 3, y = 1.$

$$\frac{{x-y}}{{\sqrt{2}}} = \frac{{3-1}}{{\sqrt{2}}} = \frac{2}{{\sqrt{2}}},$$

$$\frac{{x+y}}{{\sqrt{2}}} = \frac{{3+1}}{{\sqrt{2}}} = \frac{4}{{\sqrt{2}}}.$$

2) $x = 5, y = 4.$

$$\frac{{x-y}}{{\sqrt{2}}} = \frac{{5-4}}{{\sqrt{2}}} = \frac{1}{{\sqrt{2}}},$$

$$\frac{{x+y}}{{\sqrt{2}}} = \frac{{5+4}}{{\sqrt{2}}} = \frac{9}{{\sqrt{2}}}.$$

3) $x = 8, y = 7.$

$$\frac{{x-y}}{{\sqrt{2}}} = \frac{{8-7}}{{\sqrt{2}}} = \frac{1}{{\sqrt{2}}},$$

$$\frac{{x+y}}{{\sqrt{2}}} = \frac{{8+7}}{{\sqrt{2}}} = \frac{15}{{\sqrt{2}}}.$$

Сонымен, келесі сандар тізбегін аламыз:

$$1/\sqrt{2},\ 1/\sqrt{2},\ 2/\sqrt{2},\ 4/\sqrt{2},\ 9/\sqrt{2},\ 15/\sqrt{2}.$$

4) $x = 4/\sqrt{2},\ y = 2/\sqrt{2}.$

$$\frac{{x-y}}{{\sqrt{2}}} = 1,$$

$$\frac{{x+y}}{{\sqrt{2}}} = 3.$$

5) $x = 9/\sqrt{2},\ y = 1/\sqrt{2}.$

$$\frac{{x-y}}{{\sqrt{2}}} = 4,$$

$$\frac{{x+y}}{{\sqrt{2}}} = 5.$$

6) $x = 15/\sqrt{2},\ y = 1/\sqrt{2}.$

$$\frac{{x-y}}{{\sqrt{2}}} = 7,$$

$$\frac{{x+y}}{{\sqrt{2}}} = 8.$$

Ендеше, алатын сандар тізбегіміз: $1, 3, 4, 5, 7, 8$ болады.

7) $x = 3,\ y = 1.$

$$\frac{{x-y}}{{\sqrt{2}}} = \frac{2}{{\sqrt{2}}},$$

$$\frac{{x+y}}{{\sqrt{2}}} = \frac{4}{{\sqrt{2}}}.$$

Демек, тағы бір сандар тізбегін аламыз: $1, 2/\sqrt{2},\ 4/\sqrt{2},\ 3, 4, 5, 7, 8.$

8) $x = 4/\sqrt{2},\ y = 2/\sqrt{2}.$

$$\frac{{x-y}}{{\sqrt{2}}} = 1,$$

$$\frac{{x+y}}{{\sqrt{2}}} = 3.$$

Олай болса соңғы сандар тізбегі: $1, 1, 3, 3, 4, 5, 7, 8$ болады.

Жауабы: $1, 1, 3, 3, 4, 5, 7, 8$ сандарын алуға болады.

б) Шешу:} Берілген сандар арқылы $2, 2, 3, 3, 5, 6, 6, 9$ сандарын алуға болмайды, өйткені 9 саны алғашқы сандар тізбегінің соңғы мүшесіне жатпайды.

Жауабы: Алуға болмайды.

$\left ( \frac{x+y}{\sqrt{2}} \right )^2+\left ( \frac{x-y}{\sqrt{2}} \right )^2=x^{2}+y^{2}.$

$1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$

$1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+8^{2}=\frac{8\cdot 9\cdot 17}{6}=204.$

$a) 1^{2}+1^{2}+3^{2}+...+8^{2}=174\neq 204.$ Болмайды

$b) 2^{2}+2^{2}+3^{2}+...+9^{2}=204= 204.$ Болады