Математикадан аудандық олимпиада, 2023-2024 оқу жылы, 10 сынып

$P$, $Q$, $R$, $S$ нүктелерi сәйкесiнше $ABCD$ ромбының $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ қабырғаларының орталары болсын. $X$ — ромбтың iшiнде жатқан нүкте. $XR=5$, $XQ=1$ екенi белгiлi.
   a) $XS$-тi есептеңiз.
   б) $AB < 8$ екенiн дәлелдеңiз.

Комментарий/решение

а)

Пусть $X'$ - точка симметричная $X$ относительно центра симметрии ромба. Тогда из того, что $QXSX'$ - параллелограмм и из того, что $PQRS$ - прямоугольник следует:

$$2(XS^2+XQ^2)=XX'^2+QS^2=XX'^2+PR^2=2(XP^2+XR^2)$$

Поэтому $XS=7$.

б)

$AB=QS<XS+XQ=8$

Если $ABCD$ квадрат, то $AB = 8$