Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2023 год

На доске написаны числа 1, 2, 3, $\ldots$, 2023. За ход разрешается выбрать любые два числа, стереть их и вписать среднее арифметическое вместо этих двух стертых чисел. Можно ли за 2022 таких хода получить число 2?

Комментарий/решение

Ответ: можно

Решение: $\frac{2023+2021}{2} = 2022$.

$\frac{2022+2022}{2} = 2022$

Остались числа $1, 2, ..., 2020, 2022$. Теперь превращаем $\frac{2022+2020}{2} = 2021$.

Остались числа $1, 2, ..., 2019, 2021$. Теперь также делаем с оставшимися числами и так до

$1, 2, 3, 5$. $\frac{3+5}{2} = 4$. $\frac{4+2}{2} = 3$. $\frac{3+1}{2} = 2$. Доказано.