Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2023 год

Тақтада 1, 2, 3, $\ldots$, 2023 сандары жазылған. Бір жүрісте кез келген екі санды таңдап, оларды өшіріп, олардың орнына осы екі өшірілген санның арифметикалық ортасын жазуға болады. Осындай операциялар арқылы 2022 жүрістен кейін 2 санын алуға болады ма?

Комментарий/решение

Ответ: можно

Решение: $\frac{2023+2021}{2} = 2022$.

$\frac{2022+2022}{2} = 2022$

Остались числа $1, 2, ..., 2020, 2022$. Теперь превращаем $\frac{2022+2020}{2} = 2021$.

Остались числа $1, 2, ..., 2019, 2021$. Теперь также делаем с оставшимися числами и так до

$1, 2, 3, 5$. $\frac{3+5}{2} = 4$. $\frac{4+2}{2} = 3$. $\frac{3+1}{2} = 2$. Доказано.