Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2021-2022 учебный год. 8 класс.

Арлан и Арман играют в игру. У них есть веревка длины 2022. Каждым ходом они берут кусочек веревки, и разрезают его на две ненулевые части. Побеждает тот, кто после своего хода сможет выбрать 4 кусочки веревки так, что их длины образуют арифметическую прогрессию. Если начинает Арлан, кто победит при правильной игре?

Комментарий/решение

Победит Ардан.

Пусть Ардан сначала поделит верёвку на куски с длиной 1011 и 1011. Скажем что после хода Армана остались веревки длин a, b , 1011. Б.О.О. a≥b. Тогда Арлан поделит на a+2b/3 и 2a+b/3. Тем самым получаем куски a,b 2a+b/3, a+2b/3 образующие прогрессию с разницей a-b/3

Победит Арман.

Пусть Ардан сначала поделит верёвку на куски с длиной 1011 и 1011. Скажем что после хода Армана остались веревки длин a, b , 1011. Б.О.О. a≥b. Тогда Арлан поделит на a+2b/3 и 2a+b/3. Тем самым получаем куски a,b 2a+b/3, a+2b/3 образующие прогрессию с разницей a-b/3

Покажем, что у Арлана есть выигрышная стратегия.Пусть он первым ходом разрезал веревку на две равные части. Арман своим ходом не может выиграть, так как после его хода будет только три куска веревки. Пусть он разрерал одну из частей на кусочки длины x, 1011 − x, где x ≥ 1011/2 . Тогда следующим ходом Арлан выбирает веревку длины 1011 и разрезает ее на части длины 1011+x/3 ,2022−x/3.Остается заметить, что числа x,1011+x , 2022−x , 1011 − x образуют арифметическую прогрессию.

Допустим Арлан поделил веревку на части равные друг другу (1011)

Учитывая четность длины веревок, после хода Армана мы получаем 2 веревки длиной x и x+y. После хода Армана остается 3 веревки. Арлан же в свою очередь может поделить уже другую часть на x+y/3 и x+2y/3, и действительно, в обеих случаях выйдет равенство 2x+y=1011. По итогу Арман может выбрать все веревки, и понятно что они уже образуют ту самую ариф. прогрессию.