Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2021-2022 учебный год. 8 класс.

Задача №1. В остроугольном треугольнике

$ABC$ провели высоту

$AD$ . Известно, что

$2CD = BD$ . Пусть

$K \ne A$ такая точка на описанной окружности треугольника

$ABC$ , что

$AK \parallel BC$ . Пусть

$S$ — середина

$AB$ . Докажите, что прямая

$SK$ перпендикулярна прямой

$BC$ .
комментарий/решение(3)

Задача №2. Арлан и Арман играют в игру. У них есть веревка длины 2022. Каждым ходом они берут кусочек веревки, и разрезают его на две ненулевые части. Побеждает тот, кто после своего хода сможет выбрать 4 кусочки веревки так, что их длины образуют арифметическую прогрессию. Если начинает Арлан, кто победит при правильной игре?
комментарий/решение(3)

Задача №3. Пусть

$A = 2 + 2\sqrt {44{x^2} + 1}$ , где

$x$ — целое число. Докажите, что если

$A$ целое число то тогда

$A$ квадрат целого числа.
комментарий/решение(13)

Задача №4. Существуют ли различные натуральные числа

$a,b,c$ что число

${a^{n + 1}} + {b^{n + 1}} + {c^{n + 1}}$ делится на

${a^{n}} + {b^{n}} + {c^{n}}$ для бесконечно многих натуральных

$n$ ?
комментарий/решение(9)