Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2021-2022 учебный год. 8 класс.

Пусть $A = 2 + 2\sqrt {44{x^2} + 1}$, где $x$ — целое число. Докажите, что если $A$ целое число то тогда $A$ квадрат целого числа.

Комментарий/решение

По условию $A$ целое число. Значит $44x^2+1$ $=$ $(2y+1)^2$, значит $44x^2$ $=$ $4y^2+4y$, сократим обе стороны на $4$. И у нас выходит $11x^2$ $=$ $y^2+y$. Допустим $y$ $=$ $z^2$ тогда $y+1$ делится на $11$, значит $y$ даёт $10 $ по модулю $11$. Но квадрат целого числа не может давать $10$ по модулю $11$. Значит $y$ делится на 11, значит $y+1$ равен $z^2$. Значит $2\sqrt{44x^2+1}$ равен $4z^2-2$, тогда $2+4z^2-2$ $=$ $(2z)^2$

В условии ошибка и должно говориться, что x целое

а если x=0? там вообще должно говориться что x натуральное

Братишка че ты, при $x=0$ условие работает

а все понял, красивое решение

Пусть $A = 2+ 2 \sqrt{44x + 1}$ целое, тогда $44x^2 + 1$ полный нечетный квадрат. Пусть $44x^2+1=(2y + 1)^2⇒44x^2 +1=4y^2 +4y+1⇒11x^2 =y(y+1)$.

В силу того, что НОД(y, y + 1) = 1 получим

1 случай $y = 11a^2, y + 1 = b^2$.

2 случай $y = a^2, y + 1 = 11b^2$.

Случай 2 невозможен так как $11b^2 = a^2 + 1 ≡ 1, 5, 6, 10 (mod 11)$. Случай 1 $A=2+2\sqrt{44x^2}+1=2+2(2y+1)=4(y+1)=4b^2 =(2b)^{2}$. Осталось показать, что такие x существуют. Например число x = 30 подходит.

Когда выйдет юниорская 2023?

Никогда

Согл, админ добавьте атмо и юниорскую 2023!!!!!!!

$A=2+2\sqrt{44x^2+1}$

$44x^2+1=a^2$

$a^2-44x^2=1$ $2x=b$

$a^2-11b^2=1$ используем Пелля

тогда:

$(10+3\sqrt{11})^2=199+15\sqrt{44}$

$a=(1/2)((199+15\sqrt{44})^k+(199-15\sqrt{44})^k)$

$2+2a=(199+15\sqrt{44})^k+(199-15\sqrt{44})^k+2=((10+3\sqrt{11})^k+(10-3\sqrt{11})^k)^2=A$