Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2021-2022 учебный год. 8 класс.

Существуют ли различные натуральные числа $a,b,c$ что число ${a^{n + 1}} + {b^{n + 1}} + {c^{n + 1}}$ делится на ${a^{n}} + {b^{n}} + {c^{n}}$ для бесконечно многих натуральных $n$?

Комментарий/решение

Пусть $a \ge b \ge c \implies a > c.$

$a^{n}+b^{n}+c^{n} \mid a(a^{n}+b^{n}+c^{n}) - (a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1}) = (a-b)b^{n} + (a-c)c^{n}>0$

$\implies 1+(b/a)^n+(c/a)^n \le (a-b)\cdot (b/a)^n + (a-c)\cdot (c/a)^n$

$\implies 1\le (a-b-1)\cdot (b/a)^n + (a-c-1)\cdot (c/a)^n \quad (\color{red}{1})$

для всех достаточно больших $n$ число $ (a-c-1)\cdot (c/a)^n \to 0$

если $a=b\implies (a-b-1)\cdot (b/a)^n < 0,$

иначе для всех достаточно больших $n$ число $ (a-b-1)\cdot (b/a)^n \to 0$

По итогу $(\color{red}{1})$ не будет верным для всех достаточно больших $n.$

а как они равны если они различны

Авторское решение.

Пусть $z_n = \dfrac{a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1}}{a^n+b^n+c^n}$. Из неравенства Коши-Буняковского (тут неравенство строгое, поскольку равенство возможно только при $a=b=c$)

\[ (a^n+b^n+c^n)(a^{n+2}+b^{n+2}+c^{n+2}) > (a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1})^2 \]

\[ \implies \dfrac{a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1}}{a^{n}+b^{n}+c^{n}} < \dfrac{a^{n+2}+b^{n+2}+c^{n+2}}{a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1}} \]

\[ \implies z_n < z_{n+1} \ \forall n \in \mathbb N. \]

Но с другой стороны заметим, что $z_i < a$, где б.о.о. $a$ $-$ наибольшее из чисел $a,b,c.$ Из этого (учитывая, что все $z_i$ попарно различны) следует, что $z_i$ может быть целым только для конечного количества $i$, откуда делимость в условии тоже возможна только для конечного количества $i$.

здравствуйте, можете расписать подробней почему $z_i < a$ ?

это можно легко доказать, то есть то что: $$(a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1})^2 \leq (a^n+b^n+c^n)(a^{n+2}+b^{n+2}+c^{n+2}).$$

можно заметить что по неравенству КБШ, это выполняется, то есть $$(a^n+b^n+c^n)(a^{n+2}+b^{n+2}+c^{n+2})\geq (\sqrt{a^n\cdot a^{n+2}}+\sqrt{b^n\cdot b^{n+2}}+\sqrt{c^n\cdot c^{n+2}})^2=(\sqrt{a^{2n+2}}+\sqrt{b^{2n+2}}+\sqrt{c^{2n+2}})^2=(a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1})^2.$$

погодите, а как это связано с $z_i<a$ ?

сорян, короче это легко: $$(!) \ z_i <a$$

$$(!) \ a^{i+1}+b^{i+1}+c^{i+1} < a^{i+1}+a\cdot b^{i}+ a\cdot c^{i}$$

$$ a^{i+1}+a\cdot b^{i}+ a\cdot c^{i} > a^{i+1}+ b\cdot b_i + c\cdot c_i = a^{i+1}+b^{i+1}+c^{i+1}$$