Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2021-2022 учебный год. 8 класс.

Есеп №1.

$ABC$ сүйiрбұрышты үшбұрышында

$AD$ биiктiгi жүргiзiлдi.

$2CD = BD$ екенi белгiлi.

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердiң бойынан

$AK \parallel BC$ болатындай

$K \ne A$ нүктесi алынсын.

$S$ —

$AB$ қабырғасының ортасы болсын.

$SK$ түзуi

$BC$ түзуiне перпендикуляр болатынын дәлелдеңiз.
комментарий/решение(3)

Есеп №2. Арлан мен Арман ойын ойнайды. Оларда ұзындығы 2022 болатын арқан бар. Әр жүрiс сайын олар арқанның бөлiгiн алып, оны ұзындығы нөл болмайтын екi бөлiкке кеседi. Егер ойыншының жүрiсiнен кейiн сол ойыншы ұзындықтары арифметикалық прогрессия құрайтындай 4 арқанның кесiндiлерiн таба алса онда ол жеңедi. Егер ойынды Арлан бастаса, онда дұрыс ойында кiм жеңедi?
комментарий/решение(3)

Есеп №3.

$A = 2 + 2\sqrt {44{x^2} + 1}$ болсын. Егер

$A$ бүтiн сан болса, онда

$A$ бүтiн санның квадраты болатынын дәлелдеңiз.
комментарий/решение(13)

Есеп №4. Шексiз көп

$n$ натурал саны үшiн

${a^{n + 1}} + {b^{n + 1}} + {c^{n + 1}}$ саны

${a^{n}} + {b^{n}} + {c^{n}}$ санына бөлiнетiндей, әр түрлi натурал

$a,b,c$ сандары табылады ма?
комментарий/решение(9)