Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2021-2022 учебный год. 8 класс.

Арлан мен Арман ойын ойнайды. Оларда ұзындығы 2022 болатын арқан бар. Әр жүрiс сайын олар арқанның бөлiгiн алып, оны ұзындығы нөл болмайтын екi бөлiкке кеседi. Егер ойыншының жүрiсiнен кейiн сол ойыншы ұзындықтары арифметикалық прогрессия құрайтындай 4 арқанның кесiндiлерiн таба алса онда ол жеңедi. Егер ойынды Арлан бастаса, онда дұрыс ойында кiм жеңедi?

Комментарий/решение

Победит Ардан.

Пусть Ардан сначала поделит верёвку на куски с длиной 1011 и 1011. Скажем что после хода Армана остались веревки длин a, b , 1011. Б.О.О. a≥b. Тогда Арлан поделит на a+2b/3 и 2a+b/3. Тем самым получаем куски a,b 2a+b/3, a+2b/3 образующие прогрессию с разницей a-b/3

Победит Арман.

Пусть Ардан сначала поделит верёвку на куски с длиной 1011 и 1011. Скажем что после хода Армана остались веревки длин a, b , 1011. Б.О.О. a≥b. Тогда Арлан поделит на a+2b/3 и 2a+b/3. Тем самым получаем куски a,b 2a+b/3, a+2b/3 образующие прогрессию с разницей a-b/3

Покажем, что у Арлана есть выигрышная стратегия.Пусть он первым ходом разрезал веревку на две равные части. Арман своим ходом не может выиграть, так как после его хода будет только три куска веревки. Пусть он разрерал одну из частей на кусочки длины x, 1011 − x, где x ≥ 1011/2 . Тогда следующим ходом Арлан выбирает веревку длины 1011 и разрезает ее на части длины 1011+x/3 ,2022−x/3.Остается заметить, что числа x,1011+x , 2022−x , 1011 − x образуют арифметическую прогрессию.