Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2021-2022 учебный год, II тур заключительного этапа

Докажите, что для любого целого неотрицательного числа $k$, не превосходящего $\frac{2022\cdot 2021}{2},$ существуют такие 2022 числа, что все их $\frac{2022\cdot 2021}{2}$ попарные суммы различны и среди этих сумм ровно $k$ положительных. (И. Рубанов, С. Берлов, Л. Самойлов) ( И. Рубанов, С. Берлов, Л. Самойлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Для $k = 2022\cdot 2021/2$ возьмём числа $2,$ $2^2,$ $\ldots,$ $2^{2022}.$ Все их попарные суммы различны: если бы выполнялось равенство $2^a+2^b = 2^c+2^d,$ то, поделив его на наименьшую из входящих в него степеней двойки, мы получили бы, что чётное число равно нечётному. Пусть теперь $0 \le k < 2022\cdot 2021/2.$ Упорядочим все попарные суммы наших степеней двойки по убыванию: $s_1 > s_2 > \ldots > s_{2022\cdot 2021/2}$ — и вычтем из всех этих степеней двойки по $s_{k+1}/2.$ Все попарные суммы при этом уменьшатся на $s_{k+1},$ и положительными останутся в точности первые $k$ сумм.