Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2021 год


Дан остроугольный треугольник ABC, ACBC. Высоты, проведенные из вершин A и B, пересекаются в точке H и пересекают биссектрису внешнего угла C в точках Y и X соответственно. Биссектриса внешнего угла AHB пересекает отрезки AX и BY в точках P и Q соответственно. Докажите, что если PX=QY, то AP+BQ>2CH. ( Д. Ширяев, Е. Лопатин )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   4
2 года 11 месяца назад #

Если BAH=a,HAC=b , тогда так как HQ биссектриса BHY получается HQY=45b2 и так как CY биссектриса внешнего угла ACB откуда HYC=45b2 то есть PQ||XY так как PX=QY тогда PXQY параллелограмм , покажем что CQAC так как CY биссектриса , то CXF=45b2 получается HX=HY покажем что треугольники BXC,AYC подобны .

Доказательство: Построим параллелограмм QYPX проведем серединные перпендикуляры к PQ, XY и H,C точки пересечения их со сторонами, тогда HY=HX, CQ=CP тогда CP||YH, CQ||XH так же AYHPX, BXHQY так как CXH=CYH и CP=CQ тогда из подобия CXP,XAY и YBX,YQC получается CXYX=CPAY и CYYX=CQBX то есть CXCY=BXAY то есть CBX=CAY если FXHAC, EYHBC то есть AFEB вписанный, значит BEA=BFA=90 так же PQ биссектриса BHY и CY биссектриса внешнего угла ACB

тогда CH=PX=QY из подобия AP=CHCYCX и BQ=CHCXCY подставляя в неравенство, учитывая что ACBC значит CXCY

A=CYCX+CXCY>2 по AMGM или A>2CYCXCXCY=2

  1
1 года 6 месяца назад #

бро тут можно решить через теорему о роналду и кубке чемпионата мира

  3
1 года 6 месяца назад #

Клоун

  1
1 года 5 месяца назад #

остался случай, где PXYQ - равнобокая трапеция. В этом случае AXYB - вписанный, значит ABXY,BAY=XBA, но тогда AC=BC, противоречие