Олимпиада имени Леонарда Эйлера2015-2016 учебный год, I тур регионального этапа

Петя выбрал $10$ последовательных натуральных чисел и каждое записал либо красным, либо синим карандашом (оба цвета присутствуют). Может ли сумма наименьшего общего кратного всех красных чисел и наименьшего общего кратного всех синих чисел оканчиваться на $2016$? ( Р. Женодаров, О. Дмитриев )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Нет, не может.
Решение. Предположим противное. Заметим, что число, оканчивающееся на $2016$, обязательно делится на $16$. Среди десяти Петиных чисел есть либо одно, либо два числа, делящихся на $8$. В первом случае одно из полученных наименьших общих кратных (НОК) делится на $8$, а второе — нет, и потому их сумма не делится даже на $8$. Во втором же случае разность двух Петиных чисел, делящихся на $8$, равна $8$, поэтому одно из них делится на $16$, а другое — нет. Следовательно, одно из НОК делится на $16$, а другое — нет. Значит, и в этом случае сумма НОК делиться на $16$ не может.