Эйлер атындағы олимпиада, 2015-2016 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 1 туры

Петя қатар келген 10 натурал сандарды таңдап алып, оның әрқайсысын көк немесе қызыл қарындашпен жазып шыққан (екі түстің әрқайсысы кездеседі). Барлық қызыл сандардың ең кіші ортақ еселігі мен барлық көк сандардың ең кіші ортақ еселік қосындысы 2016 санына аяқтала алады ма? ( Р. Женодаров, О. Дмитриев )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Нет, не может.
Решение. Предположим противное. Заметим, что число, оканчивающееся на $2016$, обязательно делится на $16$. Среди десяти Петиных чисел есть либо одно, либо два числа, делящихся на $8$. В первом случае одно из полученных наименьших общих кратных (НОК) делится на $8$, а второе — нет, и потому их сумма не делится даже на $8$. Во втором же случае разность двух Петиных чисел, делящихся на $8$, равна $8$, поэтому одно из них делится на $16$, а другое — нет. Следовательно, одно из НОК делится на $16$, а другое — нет. Значит, и в этом случае сумма НОК делиться на $16$ не может.