Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2014 жыл


BAK=CAL=90 болатындай, ABC үшбұрышының BC қабырғасында K және L нүктелері табылды. A төбесінен түсірілген биіктіктің ортасы, KL кесіндісінің ортасы және ABC үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз. ( П. Кожевников, А. Акопян, С. Боев )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  4
2 года 8 месяца назад #

Пусть AKω1=S,ALω1=T, где ω1 описанная окружность ABC(AS,T)

Можем видеть, что BCTS является прямоугольником, диагонали которого пересека.тся в точке O. Значит BCTSO лежит на одной прямой с серединами BC и TC. Пусть U,V середины BC и TC соответственно. Теперь O равноудалена от U и V.

Рассмотрим трапецию ANVU где H это основание высоты. Пусть Y точка пересечения диагоналей этой трапеции.

Утверждение 1. Y - середина KL.

Доказательство: Треугольники ALK и ATS гомотетичны с центром A, а значит AV делит LK в таком же соотношений как и TC, т.е. по полам.

Теперь мы нашли все три точки, и для того чтобы доказать что они на одной прямой достаточно вспомнить одно из замечательных свойств трапеции:

Середины обоих оснований трапеции, а также точка пересечения её диагоналей, лежать на одной прямой