Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2011 год

Все числа, большие 1, покрашены в два цвета (оба цвета использованы). Докажите, что существуют такие вещественные $a$ и $b$, что числа $a+b$ и $ab$ покрашены в разные цвета. ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Решение: Возьмем 2 числа x и y которые покрашены в 2 разных цвета. БОО $x = a + b, y = ab$. Тогда $x = \frac{y}{a}+a$(мы не рассматриваем случай если а или б равно нулю, так как тогда у=0 что невозможно). Значит $xa = y + a^2$. Тогда составим квадратное уравнение от $а$:

$$a^2 - xa + y = 0$$

Получается что $D = x^2 - 4y$. Теперь, если $4y\leq x^2$, то у квадратного трехчлена есть корни(хотя бы один) а значит что так как мы взяли x и y разных цветов то мы решили задачу. То есть если мы знаем цвет $x$, то все числа $y$ такие что $4y\leq x^2$, должны быть покрашены в цвет $х$. При $4\leq x$, $4x\leq x^2$. Получается что если мы знаем цвет одного числа которое лежит в промежутке от 4 до бесконечности то мы знаем цвета всех чисел, потому что $x^2\geq 4x\geq 4y$ откуда у и х одного цвета, при $x>y$. Однако у нас должны присутствовать оба цвета. Но это невозможно ведь мы определили что если есть $x$ где $4 < x$, то $4x < x^2$ а значит, будут существовать такие $y > x$, что $4y\leq x^2$ потому что $y\leq x^2/4$, такие числа точно есть - $x<y<x^2/4$ что означает что $у$ должен быть такого же цвета как и $x$. Но если мы смогли увеличиться с х-а до $x^2/4$, то мы можем с $x^2/4$ увеличиться до ещё большего числа такого, что разница будет увеличиваться потому что увеличивается само число. Проще говоря- мы задали процесс который будет продолжать и набирать обороты, а также он не закончится и будет идти до бесконечности. Противоречие, все числа от 1 до бесконечности должны быть покрашены в цвет одного из чисел $x>4$

Тогда должны найтись 2 числа x и y, что $4y\leq x^2$