Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2011 год

Красные, синие и зеленые дети встали в круг. Когда учительница попросила поднять руку красных детей, рядом с которыми стоит зеленый ребенок, руку подняли 20 человек. А когда она попросила поднять руку синих детей, рядом с которыми стоит зеленый ребенок, руку подняли 25 человек. Докажите, что рядом с кем-то из поднимавших руку стоит сразу два зеленых ребенка. ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Сделаем предположение, что это не так, то есть в окрестности незеленого ребенка максимум один зеленый ребенок. В таком случае, между двумя зелеными детьми обязательно будет минимум 2 незеленых ребенка. Но в таком случае рядом с любым зеленым ребенком поднимут руки 2 незеленых ребенка. То есть количество зеленых детей равно половине поднимавших рук детей. Так как их $45$, то количество зеленых детей $\dfrac {45}{2}$, то есть не целое число. Получим противоречие, следовательно, предположение не верно, что доказывает требуемое