Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2011 жыл

Қызыл, көк және жасыл балалар шеңберге тұрды. Мұғалім, қасында жасыл бара тұрған, қызыл балалардан қол көтеруді сұрағанда, 20 бала қол көтерді. Ал қасында жасыл бала тұрған, көк балалардан қол көтеруді сұрағанда, 25 бала қол көтерді. Қол көтерген балалардың біреуінің қасында 2 жасыл бала тұрғанын дәлелдеңіз. ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Сделаем предположение, что это не так, то есть в окрестности незеленого ребенка максимум один зеленый ребенок. В таком случае, между двумя зелеными детьми обязательно будет минимум 2 незеленых ребенка. Но в таком случае рядом с любым зеленым ребенком поднимут руки 2 незеленых ребенка. То есть количество зеленых детей равно половине поднимавших рук детей. Так как их $45$, то количество зеленых детей $\dfrac {45}{2} $, то есть не целое число. Получим противоречие, следовательно, предположение не верно, что доказывает требуемое