Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2009 год

$P(x)$ — квадратный трехчлен. Какое наибольшее количество членов, равных сумме двух предыдущих, может быть в последовательности $P(1)$, $P(2)$, $P(3)$, $\dots$? ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Заметим что если подобрать такие $P(x)=P(x-1)+P(x-2)$ под $P(x)=ax^2+bx+c$ то получим квадратный трёхчлен равный $0$. И так как у квадратного трёхчлена максимум $2$ корня, есть только два $x$ для которых это может сработать.

Пример: $P(x)=x^2-x+4$, $P(4)=P(3)+P(2), P(3)=P(2)+P(1)$.