Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2009 жыл

$P\left( x \right)$ — квадрат үшмүше. $P\left( 1 \right)$, $P\left( 2 \right)$, $P\left( 3 \right)$, $\ldots$ тізбегінде, алдыңғы екі үшмүшенің қосындысына тең, қанша ең көп дегенде квадрат үшмүше болуы мүмкін? ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Заметим что если подобрать такие $P(x)=P(x-1)+P(x-2)$ под $P(x)=ax^2+bx+c$ то получим квадратный трёхчлен равный $0$. И так как у квадратного трёхчлена максимум $2$ корня, есть только два $x$ для которых это может сработать.

Пример: $P(x)=x^2-x+4$, $P(4)=P(3)+P(2), P(3)=P(2)+P(1)$.