Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2008 год

Дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Ее диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$. На отрезке $AB$ нашлись такие точки $X$ и $Y$, что $AX=AM$, $BY=BM$. Пусть точка $Z$ — середина отрезка $XY$, а $N$ — точка пересечения отрезков $XD$ и $YC$. Докажите, что прямая $ZN$ параллельна основаниям трапеции. ( А. Акопян, А. Мякишев )

Комментарий/решение

Пусть $Z^*$ - такая точка на стороне $AB$, что $Z^*N$ параллельна основаниям трапеции. Из подобия треугольников $YNZ^*$ и $YCB$, зная что $BY=BM$, получим что $$\frac{YZ^*}{Z^*N}=\frac{BY}{BC}=\frac{MB}{BC}.$$ Аналогичными соображениями получим, что $$\frac{XZ^*}{Z^*N}=\frac{AX}{AD}=\frac{AM}{AD}.$$ Заметим, что $\frac{MB}{BC}=\frac{AM}{AD}$, поскольку равнобедренные треугольники $MBC$ и $MDA$ также подобны. Таким образом, имеем что $\frac{XZ^*}{Z^*N}=\frac{YZ^*}{Z^*N}$, отсюда $XZ^*=YZ^*$, то есть точка $Z^*$ совпадает с точкой $Z$, серединой отрезка $XY$.